The Project Gutenberg eBook of Lehrbuch der Perspective This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook. Title: Lehrbuch der Perspective Author: Gustav Conz Release date: November 30, 2014 [eBook #47502] Language: German Credits: Produced by Jens Poenisch and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by The Internet Archive) *** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK LEHRBUCH DER PERSPECTIVE *** Produced by Jens Poenisch and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by The Internet Archive) Hinweise zur Transkription Im Original gesperrter Text wird ~so dargestellt~. Im Original kursiver Text wird _so dargestellt_. Im Original fetter Text wird =so dargestellt=. Weitere Hinweise zur Transkription befinden sich am Ende des Buches. LEHRBUCH DER PERSPECTIVE. MIT 118 IN DEN TEXT GEDRUCKTEN ZEICHNUNGEN VON G. CONZ, MALER, PROFESSOR AM K. CATHARINENSTIFT IN STUTTGART. [Illustration] STUTTGART. VERLAG VON KONRAD WITTWER. 1888. ~Alle Rechte vorbehalten.~ Druck von ~Carl Hammer~ in Stuttgart. Vorwort. Wer das Schaffen unserer Künstler kennt, der weiss, dass auch der Talentvollste nicht ohne gewissenhaftes und gründliches Studium zum Ziele gelangt, und dass sie Mühe und Arbeit nicht zu scheuen pflegen. Woher kommt es nun, dass die Mehrzahl der Maler so wenig von der Perspective versteht, welche doch zweifellos eine so wichtige Grundlage ihrer Studien bildet? Die Meisten unterschäzen den Wert derselben nicht, nehmen auch wohl dieses oder jenes Lehrbuch zur Hand, aber gewöhnlich nur, um es bald wieder zur Seite zu legen, ohne ihren Zweck erreicht zu haben, und wenn man nach dem Grunde fragt, so heisst es, das möge alles ganz gut für Architekten sein, eigne sich aber nicht für Maler. Allerdings ist die Art und Weise, in welcher der Architekt die perspectivischen Geseze anwendet, wesentlich verschieden von der des Malers und es mag wohl sein, dass die meisten perspectivischen Lehrbücher dem Standpunkt des Lezteren weniger als dem des Ersteren Rechnung tragen. Der Architekt stellt sich die Aufgabe, das perspectivische Bild eines Gegenstands mathematisch genau zu berechnen auf Grund bestimmter Angaben über die wirkliche (geometrische) Richtung, Grösse und Winkelstellung sämtlicher Linien, wie sie ihm in seinem Grundriss und Aufriss vorliegen. Für den Maler dagegen ist das perspectivische Bild, welches in der Natur oder in seiner Fantasie vor ihm steht, das zuerst Gegebene. In den meisten Fällen ist er darauf angewiesen, zunächst die perspectivische Richtung und Grösse einzelner für die beabsichtigte Wirkung seines Bildes wesentlicher Linien, so gut die Übung seines Auges gestattet, festzustellen und dann erst die perspectivische Berechnung anzuwenden, um das Übrige mit jenen in richtige Übereinstimmung zu bringen. Für diese Berechnung fehlen ihm aber, da er selten in der Lage ist, Messungen an seinem Gegenstand vorzunehmen, die genauen und bestimmten Angaben, welche dem Architekten zu Gebote stehen, und welche die Auffassung auch eines geübten Auges nicht vollständig ersezen kann. Er muss daher in der Regel auf eine vollständige perspectivische Genauigkeit aller Teile seines Bildes verzichten und er bezweckt eine solche auch nicht. Man kann sagen, dass er in dieser Beziehung seiner Aufgabe genügt, wenn er ~perspectivische Fehler vermeidet, welche für das Auge eines kundigen Beschauers ohne Anwendung einer Berechnung wahrnehmbar und deshalb für die Wirkung des Ganzen störend wären~. Hieraus ergeben sich einerseits gewisse Schwierigkeiten, welche ein für die Zwecke des Malers geeignetes Lehrbuch der Perspective zu berücksichtigen hat, anderseits bietet sich die Möglichkeit, in mancher Beziehung den Stoff zu vereinfachen und leichter verständlich zu machen. Der Umgang mit Kunstgenossen, sowie eine langjährige Lehrthätigkeit haben dem Verfasser das Bedürfnis eines in dem erwähnten Sinne geschriebenen Lehrbuchs so oft nahe gelegt und ihm zugleich so vielfache Gelegenheit gegeben, die Mittel und Wege, welche sich hiebei darbieten, zu erproben, dass er vielleicht hoffen darf, mit dieser Schrift Vielen einen Dienst zu erweisen. Neben den Bedürfnissen des Malers sind zugleich diejenigen des Schulunterrichts ins Auge gefasst. Mit Rücksicht auf diesen sind auch die einfachen geometrischen Begriffe, welche in Betracht kommen, besprochen und ist die Anordnung des Stoffes eine solche, dass die für das Freihandzeichnen wichtigsten und unentbehrlichsten Lehrsäze, welche zugleich die verständlichsten sind, leicht von den schwierigeren Teilen getrennt vorgenommen werden können.[1] [1]: Anm. Das Notwendigste und zugleich Einfachste sind ausser einigen Grundbegriffen (§§ 1--15) die allgemeinen Regeln über die Richtung der verkürzten parallelen und wagrechten Linien (§§ 20--29, § 37); nächst diesen die §§ 30--36, 41--64, 71--73, 86--92, 99--101, § 105. Der Grad von perspectivischer Genauigkeit, welcher mit Hilfe dieser Abschnitte zu erzielen ist, mag in vielen Fällen genügen. Auch für den Künstler haben ohne Zweifel die weniger schwierigen Berechnungen, welche sich im Notfall mittels einiger aus freier Hand gezeichneter Hilfslinien ausführen lassen, den meisten Wert und Manchen wäre vielleicht eine noch kürzere und einfachere Fassung des Ganzen erwünscht und genügend gewesen. Aber abgesehen davon, dass ein grösserer Massstab des Bildes zuweilen genauere und ausführlichere Constructionen erfordert, haben dieselben auch den Wert, das Verständnis zu üben und zu schärfen, wie überhaupt der wichtigste Nuzen solcher Studien darin besteht, dass das Auge richtiger sehen und auch ohne Anwendung einer Berechnung die Formen der Natur rascher und sicherer auffassen lernt. =Stuttgart=, im März 1888. =Der Verfasser.= Inhalt. Seite Vorwort III--VI I. Geometrische Begriffe. § 1. Senkrechte, wagrechte, schräge und parallele Linien 1 § 2. Winkel; rechte, stumpfe und spize 1--3 § 3. Dreiecke; gleichseitige, gleichschenklige, rechtwinklige 3--4 § 4. Vierecke; Quadrat, Rechteck, Raute, Trapez 4--5 § 5. Der Kreis. Hilfsmittel zum perspectivischen Zeichnen 5--6 II. Grundbegriffe der Perspective. § 6--11. Unterschied der geometrischen und perspectivischen Form 7--14 § 12--13. Der Standpunkt; Sehkreis, Augpunkt, Horizont 15--19 § 14--20. Die Distanz 19--23 § 21--24. Das Grundgesez der perspectivischen Formerscheinung. Verkürzte und unverkürzte Stellung der Flächen und Linien 24--27 III. Perspectivische Richtung verkürzter Linien. § 25--27. Verkürzte Parallellinien 28--31 § 28--31. Verkürzte wagrechte Linien 31--37 § 32--36. Rechtwinklige wagrechte Linien 37--45 § 37. Verkürzte wagrechte Linien, deren Richtung nicht genau zu berechnen ist 45 § 38--40. Wagrechte Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist 46--51 § 41--44. Verkürzte schräge Linien 51--57 § 45--48. Berechnung der Richtung schräger Linien ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte 57--62 § 49--61. Verschiedene Beispiele: Treppen, Dächer, Dachfenster, Turmhelme 62--80 IV. Die perspectivischen Grössenverhältnisse. § 62. Unterscheidung der verschiedenen Aufgaben 81 § 63--70. Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe 82--90 § 71--73. Teilung einer verkürzten Linie nach bestimmten Verhältnissen 90--94 § 74--79. Perspectivisches Grössenverhältnis nicht paralleler Linien 95--105 § 80. Das Quadrat in gerader Stellung 105--106 § 81--85. Das Quadrat in schräger Stellung 106--111 § 86--87. Vergrösserung oder Verkleinerung eines Quadrats oder Rechtecks 111--115 V. Verkürzte Kreise, Achtecke und Sechsecke; Gewölbeformen. § 88--90. Der Kreis in verkürzter Stellung 116--119 § 91. Parallele und concentrische Kreise 119--120 § 92. Teilung eines verkürzten Kreises 120--121 § 93--95. Verkürzte Achtecke 122--127 § 96--98. Verkürzte Sechsecke 127--130 § 99--100. Weitere Beispiele: Rad, Wasserrad, Walze, Cylinder 130--133 § 101--108. Tonnengewölbe, Kreuzgewölbe, Spizbogen, Kuppel 133--144 Druckfehler. S. 17 Zeile 13 und 14 von oben ist zu lesen: je tiefer wir stehen, desto schmaler, je höher wir stehen, desto breiter erscheint uns dieselbe. S. 26 Z. 14 v. o ist zu lesen: _b c_ ferner als _a d_. S. 50 " 16 " " " " " _B_ statt _g_. S. 57 " 1 v. u. " " " _F_ statt _E_. S. 62 " 3 v. o. " " " _n a_ statt _m d_. I. Geometrische Begriffe. Gerade Linien. § 1. Eine gerade Linie ist ~senkrecht~, wenn sie die durch das Lot oder Senkblei angegebene Richtung hat, ~wagrecht~, wenn ihre beiden Endpunkte (und somit alle Punkte derselben) in gleicher Höhe liegen, ~schräg~, wenn sie nach irgend einer Richtung hin steigt oder fällt. Dies gilt sowohl von den wirklichen Linien im Raume, als von den Linien einer Zeichnung, wenn wir uns leztere senkrecht stehend denken. Linien, welche dieselbe Richtung haben, so dass der Abstand zwischen ihnen, soweit man sie verlängern mag, überall gleich gross ist, heissen ~Parallellinien~, vgl. _A B_ und _C D_, _E F_ und _G H_ Fig. 1. Zieht man zwischen 2 parallelen Linien Verbindungslinien, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang, vgl. die Linien _a_, _b_, _c_, _d_, _e_, _f_ Fig. 1. [Illustration: Fig. 1.] Winkel. § 2. Linien, welche nicht parallel sind, stehen in einem ~Winkel~ zu einander. Treffen sie in einem Punkte zusammen, wie in Fig. 2 _b c_ und _c d_ in _c_ oder _a b_ und _b c_ in _b_, so heisst dieser Punkt die ~Spize~ des Winkels; die beiden den Winkel bildenden Linien heissen seine ~Schenkel~. Wenn man von der Grösse eines Winkels spricht, so ist damit der Grad gemeint, in welchem beide Schenkel desselben gegen einander geneigt sind; der Winkel bei _c_ ist z. B. kleiner, als der Winkel bei _b_; die Länge der Schenkel kommt hiebei nicht in Betracht. [Illustration: Fig. 2.] Eine senkrechte und eine wagrechte Linie, oder 2 schräge Linien, welche in demselben Grade gegen einander geneigt sind, wie eine senkrechte und eine wagrechte, bilden einen ~rechten Winkel~, vgl. Fig. 2 _A B_ und _A C_, _e f_ und _c d_. Werden die Schenkel eines rechten Winkels über die Spize hinaus verlängert, so entstehen 4 rechte Winkel (z. B. bei _A_). Zwei Linien, welche weniger gegen einander geneigt sind, als die Schenkel eines rechten Winkels, bilden einen ~stumpfen~ solche, die stärker gegen einander geneigt sind, einen ~spizen~ Winkel. Ein stumpfer Winkel (_a b_ und _c b_, Fig. 2) ist also grösser, ein spizer Winkel (_b c_ und _c d_) ist kleiner, als ein rechter. Dreiecke. [Illustration: Fig. 3.] § 3. _A_, _B_, _C_, _D_, _E_ Fig. 3 sind verschiedene Arten von Dreiecken: _A_, ein ~gleichseitiges~ Dreieck, hat 3 gleich lange Seiten, welche in den Ecken 3 gleich grosse spize Winkel bilden; _B_, _C_ und _E_ sind ~gleichschenklige~ Dreiecke, in welchen 2 Seiten gleich lang sind, während die dritte entweder länger oder kürzer ist, als jene beiden; leztere heisst die ~Grundlinie~. _D_ und _E_ sind ~rechtwinklige~ Dreiecke, d. h. einer der 3 Winkel ist ein rechter; _E_ ist also ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck: der Winkel bei _a_ ist ein rechter, _a b_ und _a c_ sind gleich lang; die Winkel bei _b_ und _c_ sind halbe rechte Winkel; durch eine Linie von _a_ nach _d_, der Mitte von _b c_, entstehen 2 rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke: _a d c_ und _a d b_. Vierecke. § 4. Fig. 4 ist ein ~Quadrat~, d. h. ein Viereck mit 4 gleich langen Seiten, welche in den Ecken 4 rechte Winkel bilden; in einem ~Rechteck~ oder Oblongum (Fig. 5) stossen die Seiten gleichfalls in rechten Winkeln zusammen, aber das eine Seitenpaar ist länger, als das andere. Fig. 6 ist eine ~Raute~ oder ein Rhombus: die 4 Seiten sind gleich lang und die gegenüberliegenden sind parallel, wie im Quadrat, aber sie bilden in den Ecken nicht rechte, sondern 2 spize und 2 stumpfe Winkel. [Illustration: Fig. 4.] [Illustration: Fig. 5.] [Illustration: Fig. 6.] Vierecke, in welchen die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, also Quadrat, Rechteck und Raute, heissen ~Parallelogramme~. Die Linien _a c_ und _b d_ in Fig. 4, 5 und 6, welche die gegenüberliegenden Ecken eines Parallelogrammes verbinden, heissen ~Diagonalen~. Die beiden Diagonalen eines Parallelogramms sind gleich lang, und schneiden sich im Mittelpunkt desselben. Zieht man durch den Punkt _e_, in welchem sie sich schneiden, Linien, welche mit den Seiten parallel sind, so werden leztere halbiert. Im Quadrat werden die rechten Winkel der Ecken durch die Diagonalen halbiert. Diese stehen zu einander in einem rechten, zu den Seiten des Quadrats in einem halben rechten Winkel. _e a b_, _e b c_, _e c d_ und _e d a_ Fig. 4 sind 4 rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke, welche durch die Linien _e f_, _e g_, _e h_ und _e i_ wieder in je 2 solche Dreiecke geteilt werden. [Illustration: Fig. 7.] Ein Viereck, in welchem 2 Seiten parallel, die beiden andern nicht parallel sind, heisst ~Trapez~ (Fig. 7.) Der Kreis; Hilfsmittel zum perspectivischen Zeichnen. § 5. Der ~Kreis~ (Fig. 8) ist eine gebogene Linie, welche überall gleich weit von einem Punkte, ihrem Mittelpunkt, entfernt ist. ~Durchmesser~ des Kreises heisst eine gerade Linie, welche von einem beliebigen Punkte der Kreislinie durch den Mittelpunkt hindurch nach dem entgegengesezten Punkt derselben gezogen wird, wie _a b_; eine gerade Linie vom Mittelpunkt nach einem beliebigen Punkt der Kreislinie, z. B. _c a_, _c b_, _c d_, _c e_, welche somit die Hälfte eines Durchmessers bildet, heisst ~Halbmesser~ oder ~Radius~. Alle Radien eines Kreises sind gleich lang. ~Concentrische~ Kreise sind Kreise, welche denselben Mittelpunkt haben. [Illustration: Fig. 8.] [Illustration: Fig. 9.] [Illustration: Fig. 10.] Als Hilfsmittel sind zum perspectivischen Zeichnen erforderlich: ein grösseres Reissbrett, ein Zirkel, ein rechter Winkel (Fig. 9) und eine Reissschiene (Fig. 10); durch leztere erhält man, indem der kurze Teil an den Rand des Reissbretts angelegt wird, auf bequeme Weise die senkrechten und wagrechten Linien. II. Grundbegriffe der Perspective. Unterschied der geometrischen und perspectivischen Form. § 6. Einen Gegenstand perspectivisch zeichnen heisst ihn so zeichnen, wie er dem Auge erscheint, wenn wir ihn von einem bestimmten Standpunkte aus betrachten. Dieses scheinbare oder ~perspectivische Bild~ der Dinge ist vielfach verschieden von der Form, welche sie in Wirklichkeit haben, d. h. ihrer ~geometrischen Form~; während leztere unverändert bleibt, ändert sich die perspectivische Form eines Gegenstands mit jeder Veränderung unseres Standpunkts oder mit jeder Veränderung in der Stellung des betreffenden Gegenstandes. Die geometrische Form eines Würfels (cubus) ist z. B. die eines Körpers, welcher von 6 gleich grossen quadratischen, rechtwinklig aneinanderstossenden Flächen begrenzt wird. Die Umrisslinien dieser Flächen sind geometrisch gleich lang, ihre geometrische Richtung ist, wenn wir den Würfel auf eine wagrechte Fläche stellen, teils senkrecht, teils wagrecht, sie stehen geometrisch teils parallel, teils rechtwinklig zu einander. Stellen wir aber mehrere in Wirklichkeit gleich grosse Würfel in verschiedener Stellung und Entfernung vor uns, oder betrachten wir denselben Würfel von verschiedenen Standpunkten aus, so erhalten wir sehr verschiedene Bilder, wie Fig. 11 zeigt: während einige Linien, wie _a b_, _b c_, _c d_ in _A_, ihre geometrische Richtung und Länge behalten, erscheint ein Teil der geometrisch wagrechten Linien schräg, wie _c e_ in _A_, _a b_, _a g_, _c d_, _c e_, _d f_ und _e f_ in _B_, zuweilen auch senkrecht, wie _d f_ in _A_; geometrisch parallele Linien erscheinen nicht mehr parallel, wie _c e_ und _d f_ in _A_, von den geometrisch gleich grossen Linien und Flächen erscheint bald die eine, bald die andere grösser oder kleiner u. s. w. Und während in Wirklichkeit die Gegenstände und ihre einzelnen Teile und Linien nicht nur neben und über einander, sondern auch in den verschiedensten Entfernungen vor und hinter einander liegen, sehen wir sie perspectivisch so, als ob sie in einer senkrechten Fläche sämtlich neben und über einander lägen, weshalb wir denn auch auf der Fläche des Papiers, der Leinwand u. s. w. das naturgetreue Bild eines Gegenstandes wiedergeben können. Die deutlichste Anschauung hievon gibt das fotografische Abbild oder das Spiegelbild. Wenn wir einen Gegenstand, ohne unser Auge von der Stelle zu bewegen, so wie wir ihn in einem Spiegel oder durch eine Fensterscheibe sehen, auf der Fläche des Glases nachzeichnen, so erhalten wir sein genaues perspectivisches Bild. [Illustration: Fig. 11.] § 7. Es ist die Erfahrung und Übung des Auges, welche bewirkt, dass wir die perspectivische Form, in der wir die Dinge sehen, nicht mit ihrer wirklichen oder geometrischen Form verwechseln, sondern uns auch da, wo die erstere von der lezteren abweicht, eine allerdings nicht immer genaue Vorstellung von der wirklichen Form des betreffenden Gegenstands machen können; dass wir z. B. bei Betrachtung von mehreren, wie _A_, _B_, _C_, _D_, _E_, _F_, _G_ Fig. 11 sich darstellenden Würfeln uns ihrer verschiedenen Entfernung von unserem Standpunkt, der geometrisch wagrechten und parallelen Richtung der Linien _c e_, _d f_ u. s. w. in _A_, der geometrisch gleichen Länge sämtlicher Umrisslinien der Würfel bewusst sind. Ja, diese auf der Erfahrung unseres Auges beruhende Kenntnis der geometrischen Form bildet ein nicht unwesentliches Hindernis für die richtige Auffassung des perspectivischen Bildes.[2] Unbewusst halten wir in dem häufigen und mannigfachen Wechsel der perspectivischen Erscheinung die Vorstellung der geometrischen Form fest und der ungeübte Zeichner ist deshalb stets geneigt, auch wo das seinem Auge sich darbietende Bild eines Gegenstands von dessen wirklicher Form erheblich abweicht, die leztere an Stelle des ersteren zu sezen, oder wenigstens mehr als richtig ist, der geometrischen Form nahe zu bleiben. Er wird z. B. Flächen oder Linien, welche von dem angenommenen Standpunkt aus im Verhältnis zu andern kleiner erscheinen, als sie in Wirklichkeit sind, fast immer zu gross, in Fig. 12 z. B. _a b_ statt _i g_ (das linke Bild als das richtige angenommen), geometrisch rechtwinklige Linien, welche perspectivisch einen stumpfen oder spizen Winkel bilden, meist so zeichnen, dass sie wenigstens annähernd rechtwinklig zu einander stehen, vgl. _c_, _d_, _e_, _f_ statt _m_, _n_, _o_, _p_; erscheint eine geometrisch wagrechte Linie perspectivisch schräg, so wird er sie zu wenig von der wagrechten Richtung abweichen lassen, vgl. _a b_ u. s. w. [2]: Mit dem Ausdruck »Bild« wird sowohl der perspectivisch gesehene Gegenstand selbst, als die perspectivische Darstellung desselben bezeichnet. [Illustration: Fig. 12.] § 8. ~Jede Berechnung einer perspectivischen Form muss zunächst ausgehen von der geometrischen Form des betreffenden Gegenstands~: um zu berechnen, welche Richtung und welche Länge eine bestimmte Linie unseres Bildes haben soll, müssen wir die wirkliche Richtung und Länge der betreffenden Linie kennen und nur soweit, als wir diese genau anzugeben vermögen, ist ein genaues Resultat unserer Berechnung möglich. Aber, wie bereits angedeutet, ist unsere Beurteilung der geometrischen Form nicht eine unbedingt sichere und genaue, wenn wir (siehe Vorwort) voraussezen, dass wir ohne Hilfe von Messungen am Gegenstand die wirkliche Form desselben nur auf Grund unserer Anschauung und Erfahrung uns klar zu machen haben. ~Auch ein geübtes Auge vermag die geometrische Form der Dinge nur dann mit vollkommener Bestimmtheit und Genauigkeit zu erkennen, wenn dieselbe eine regelmässige, durch die Natur des Gegenstands notwendig bedingte und dem Auge aus Erfahrung bekannte, nicht aber, wenn sie unregelmässig, zufällig und willkürlich ist. Unsere Berechnung wird sich daher nur auf Formen der ersteren Art erstrecken.~ Teils aus diesem Grunde, teils weil wir bei Ausführung einer perspectivischen Berechnung auf das Lineal angewiesen sind, haben wir es zunächst nur mit geraden Linien zu thun. Doch ist damit die Anwendung der perspectivischen Regeln auf Formen, welche nicht geradlinige Umrisse haben, nicht ausgeschlossen, indem wir mittels gerader Linien die Lage einzelner wichtiger Punkte ihres perspectivischen Bildes berechnen können, von welchen aus das Übrige sich leicht aus freier Hand ergänzen lässt, wie dies z. B. bei der Darstellung eines von der Seite gesehenen Kreises geschieht, vgl. Fig. 93 und 94. § 9. Welche Linienrichtungen und Grössenverhältnisse sind nun als regelmässig und notwendig, welche als willkürlich anzusehen? Bei aufmerksamer Betrachtung von Gegenständen der verschiedensten Art werden wir finden, dass es meist durch die Natur des betreffenden Gegenstandes bedingt und, auch wenn das perspectivische Bild von der geometrischen Form abweicht, deutlich wahrnehmbar ist, ob eine Linie geometrisch senkrecht, wagrecht, oder schräg ist, welche Linien geometrisch parallel, welche rechtwinklig zu einander stehen. Dasselbe gilt von den symmetrischen Grössenverhältnissen. (Da die Entfernung zweier Punkte von einander nach der Länge einer zwischen ihnen gezogenen geraden Linie bemessen wird, so bezieht sich das Gesagte auch auf die perspectivischen Entfernungen). Wo dagegen Linien in einem spizen oder stumpfen Winkel zu einander stehen, ist die geometrische Größe dieses Winkels meist zufällig und willkürlich. (Eine Ausnahme bilden die Winkel, in welchen die Linien mancher geometrischen Figuren zu einander stehen, z. B. die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks, eines Sechsecks, Achtecks u. s. w. zu einander). Alle Grössenverhältnisse, mit Ausnahme der symmetrischen, sind mehr oder weniger willkürlich. § 10. Nehmen wir z. B. an, dass das Haus Fig. 13 und das Zimmer Fig. 14 so, wie sie hier gezeichnet sind, in Wirklichkeit vor uns stehen und dass die geometrische Richtung und Länge der verschiedenen Linien angegeben werden soll. [Illustration: Fig. 13.] Leicht erkennbar sind überall die senkrechten Linien, da ihre Richtung stets unverändert dieselbe ist. Beispiele geometrisch wagrechter Linien sind in beiden Figuren die mit _a_, _b_, _c_, _d_, _e_, _f_, _g_, _h_ bezeichneten Linien, geometrisch schräg sind in Fig. 13 _i_, _h_, _k_, _m_, _n_, _o_. Geometrisch parallel sind in Fig. 13 die Wagrechten _a a_ und _b_, sodann die mit _c_ und die mit _e_, ferner die mit _f_ bezeichneten Linien und die schrägen Linien _i i_, sowie _o o_. In Fig. 14 sind geometrisch parallel die mit _e_, sodann die mit _f_ bezeichneten Linien; ebenso _a_ und _b_, _c_ und _d_, _g_ und _h_. Geometrisch rechtwinklig stehen zu einander in beiden Figuren die Linien _a_ und _b_ zu _c_ und _d_, ferner die Linien _e_ zu _f_. [Illustration: Fig. 14.] In Fig. 13 haben die 5 Fenster des ersten Stockwerks in Wirklichkeit gleiche Höhe, und Breite, die Entfernungen der Fenster von einander und von den Ecken sind je auf einer Seite geometrisch gleich gross, die Giebellinien _i_ und _k_ sind geometrisch gleich lang, ebenso in Fig. 14 die 4 Tischbeine, die 2 senkrechten Linien der Thüre (zwischen _g_ und _h_) u. s. w. Die rasche und sichere Auffassung solcher geometrischen Linienrichtungen und Grössenverhältnisse erfordert immerhin einige Übung. Dass die geometrisch schräge Linie _m_ Fig. 13 (oder die geometrisch wagrechte _a b_ Fig. 29) mit einer Senkrechten verwechselt werde, ist kaum zu befürchten; leichter geschieht es, dass der Anfänger die geometrisch parallele oder rechtwinklige Stellung von Linien übersieht, welche nicht in Einer Fläche liegen oder wegen ihrer geringen Länge wenig in's Auge fallen (z. B. dass die Linie _b_, Fig. 13 geometrisch parallel ist mit _a a_). Bei einiger Aufmerksamkeit gewöhnt sich jedoch das Auge bald an eine richtige Unterscheidung der angeführten Linienrichtungen und Grössenverhältnisse. Aber weder unser Auge noch unsere Erfahrung sagen uns genau, wie gross in Wirklichkeit der Winkel ist, in welchem die Linien _i_ und _k_ Fig. 13 zu der darunter liegenden Wagrechten _c_, oder in Fig. 14 die Linien _a_ und _b_, _c_ und _d_ oder _g_ und _h_ zu _e e_ stehen, wie breit in Wirklichkeit die linke Seite des Hauses Fig. 13 im Verhältnis zur rechten, das Fenster Fig. 14 im Verhältnis zur vorderen, dieser zum anstossenden Tischrand ist; denn alle diese Winkelstellungen und Grössenverhältnisse ergeben sich nicht aus der Natur des Gegenstandes; sie sind zufälliger Art. § 11. Da die zufälligen und willkürlichen Linienrichtungen, Winkelstellungen und Grössenverhältnisse, deren Darstellung wir dem Auge und der Übung des Zeichners überlassen, überall häufig vorkommen, in der landschaftlichen Natur sogar weit vorherrschen über das Regelmässige und Notwendige der Form, so könnte es scheinen, als ob die Anwendung und der Nuzen perspectivischer Geseze und Studien sehr beschränkt sei. Aber es ist klar, dass die Genauigkeit der Zeichnung eine um so grössere sein muss, die Kenntnis und Anwendung bestimmter Regeln daher um so notwendiger ist, je bekannter und regelmässiger die darzustellenden Formen sind, während unregelmässige und willkürliche Formen der Darstellung eine grössere Freiheit gestatten. Hievon abgesehen beruht der Wert perspectivischer Studien nicht allein darin, dass sie uns in Stand sezen, das perspectivische Bild eines Gegenstands mathematisch zu berechnen, sondern wir lernen durch dieselben überhaupt die Eindrücke des Auges mit richtigerem und klarerem Verständnis aufzufassen und infolge dessen auch da, wo keine genauere Berechnung stattfindet, richtiger wiederzugeben. Der Standpunkt; Sehkreis, Augpunkt, Horizont. § 12. Nächst der geometrischen Richtung und Länge der Linien ist es ihre Stellung zu unserem Auge, oder, was dasselbe ist, unseres Auges zu ihnen, d. h. ~unser Standpunkt~, wovon das perspectivische Bild abhängt. Gewöhnlich versteht man unter Standpunkt die Stelle, auf welcher wir stehen oder sizen; im Sinne der genauen perspectivischen Berechnung jedoch verstehen wir darunter ~den Punkt, wo unser Auge sich befindet~. Der Unterschied zwischen rechtem und linkem Auge kommt dabei nicht in Betracht wegen der als notwendig vorausgesetzten Entfernung unseres Standpunkts von dem zu zeichnenden Gegenstand. [Illustration: Fig. 15.] Da wir nach allen Richtungen gleich viel übersehen, so bildet der Umfang dessen, was wir mit Einem Blick erfassen können, einen -- selbstverständlich nicht bestimmt abgegrenzten -- Kreis, unsern ~Sehkreis~, vgl. Fig. 15. Der Mittelpunkt desselben, _P_, ist der Punkt, welcher dem Auge gerade gegenüber liegt und heisst der ~Augpunkt~. Durch den Augpunkt denke man sich eine wagrechte den Sehkreis in der Mitte durchschneidende und nach beiden Seiten über denselben hinaus beliebig sich fortsezende Linie (_H H_) gezogen; dies ist der perspectivische ~Horizont~. Die perspectivische Berechnung geht von der Voraussezung aus, dass der Blick des Zeichners bei aufrechter Haltung des Kopfes geradeaus gerichtet sei, so dass beide Augen in einer wagrechten Linie liegen, welche wir unsere ~Augenlinie~ nennen. Mit dieser Linie parallel-laufend und in gleicher Höhe mit ihr haben wir uns den Horizont zu denken. ~Eine von unserem Auge nach dem Augpunkt gezogene Linie würde demnach rechtwinklig zu unserer Augenlinie und zum Horizont stehen~ wie _D P_ zu _H H_ in Fig. 15. Man denke sich die Zeichnung senkrecht stehend und _D P_ als wagrechte rechtwinklig zu _H H_ stehende Linie, vgl. Fig. 16. [Illustration: Fig. 16.] Im gewöhnlichen Sprachgebrauch bedeutet Horizont die Linie, welche die sichtbaren Gegenstände gegen den Himmel abgrenzt, es sei dies eine Berglinie, oder der obere Umriss von Gebäuden u. s. w. Dieser sogenannte scheinbare Horizont ist zugleich unser perspectivischer, wenn wir eine wagrechte, soweit das Auge reicht vor uns ausgedehnte Fläche überblicken. Eine solche Fläche erscheint gegen den Himmel begrenzt durch eine wagrechte in gleicher Höhe mit unserem Auge liegende Linie, wie uns am deutlichsten die Meeresfläche zeigt: je tiefer wir stehen, desto schmaler, je höher wir stehen, desto breiter erscheint uns dieselbe, mit unserem Standpunkt scheint auch die Grenzlinie des Meeres höher oder tiefer zu rücken,[3] vgl. Fig. 17 und 18. [3]: Man könnte aus der Kugelgestalt der Erde schliessen, dass die Grenzlinie der Meeresfläche oder einer grossen Ebene nicht eine gerade Linie sei und nicht genau in der Höhe des Auges liege. Aber im Verhältnis zur Grösse des Erdballs ist der Teil, welchen wir mit Einem Blick übersehen können, so klein, dass er wie eine wagrechte Fläche, seine Grenzlinie vollständig wagrecht erscheint und angenommen werden kann, dass leztere in gleicher Höhe mit dem Auge liege. [Illustration: Fig. 17 und 18.] § 13. Indem wir Augpunkt und Horizont auf unserer Zeichnung angeben (was in sämtlichen Figuren durch die Buchstaben _P_ und _H H_ geschehen ist), bezeichnen wir damit die ~Höhe~ und die ~Richtung~, aus welcher wir den betreffenden Gegenstand sehen und zeichnen. In Fig. 15 haben wir uns demnach den Zeichner in der Fortsezung der Linie _e f_ stehend oder sizend zu denken, so dass sein Auge dem Punkte _P_ gerade gegenüber und in gleicher Höhe mit diesem und mit der Linie _H H_ sich befände, vgl. Fig. 16. Um beim Zeichnen nach der Natur Augpunkt und Horizont an der richtigen Stelle anzugeben, muss man zuvor, so gut dies ohne Berechnung möglich, eine Skizze der Hauptlinien des Bildes nach ihren ungefähren Verhältnissen entworfen haben. Hält man hierauf einen Bleistift, den Rand des Zeichenblattes oder dgl. wagrecht in gleicher Höhe mit dem Auge vor sich, so ist es nicht schwer, die Höhe zu ersehen, in welcher der Gegenstand von der Horizontlinie durchschnitten wird und auf derselben die dem Auge gerade gegenüberliegende Stelle zu bestimmen. Gewöhnlich wird übrigens nicht der ganze Umfang des Sehkreises als Bild verwendet. Wir pflegen vielmehr der Zeichnung die Form eines Rechtecks zu geben, welches in der Regel so abgegrenzt wird, dass Horizont und Augpunkt nicht in der Mitte, aber auch nicht zu nahe am Rande desselben liegen, vgl. Fig. 17 und 18. Die Distanz. § 14. Unter der ~Entfernung unseres Standpunkts~ oder der ~Distanz~ ist zu verstehen ~unsere Entfernung von den uns zunächst liegenden Teilen des zu zeichnenden Gegenstands~. Häufig liegt der nächste Vordergrund in der wagrechten Fortsezung der Fläche, auf welcher wir unsern Standpunkt genommen haben und bildet so den untern Rand der Zeichnung, wie in Fig. 13--15. Ziehen wir in solchem Fall eine Linie von unserem Fuss nach dem gerade gegenüber liegenden Punkt der Vordergrundlinie, dem sog. ~Fusspunkt~, so bezeichnet die Länge dieser Linie (_F f_ Fig. 16) die genaue Grösse unserer Distanz. Denken wir uns, dass anstossend an den Teil unseres Gegenstands, welcher unserem Auge am nächsten liegt, z. B. in Fig. 15 und 16 auf der Linie _a b_, eine grosse unser ganzes Bild umfassende Glastafel stehe und dass Augpunkt, Horizont und Fusspunkt in der senkrechten Fläche dieser Tafel (der sogenannten Bildfläche) liegen, so wäre eine Linie vom Auge nach dem Augpunkt eben so lang, als eine Linie von unserem Fusse nach dem Fusspunkt (vgl. _D P_ und _F f_ Fig. 16) und könnte ebenso als Mass der Distanz gebraucht werden. In diesem Sinne ist es zu verstehen, wenn gesagt wird, die Distanz bedeute die Entfernung unseres Auges vom Augpunkt, und so oft von dieser die Rede ist, muss man sich das zu zeichnende Bild in der angeführten Weise als eine senkrechte Fläche vorstellen, wie wir es im Spiegelbilde sehen. § 15. ~Die Entfernung des Standpunkts muss wenigstens so gross sein, dass der Zeichner gerade aus in der Richtung des Augpunkts blickend und ohne das Auge nach der Seite, nach oben oder unten zu wenden, alles, was er in sein Bild aufnehmen will, deutlich übersehen kann.~ Denn da bei jeder Veränderung des Standpunkts das perspectivische Bild des Gegenstands ein anderes wird, so ist die erste Bedingung einer perspectivisch richtigen Zeichnung, dass das Ganze von ein und demselben Standpunkt aus, d. h. aus derselben Höhe, Richtung und Entfernung gezeichnet, die einmal angenommene Lage von Horizont und Augpunkt, sowie die Grösse der Distanz unverändert beibehalten werde. Sobald wir aber die Richtung unseres Blickes verändern, so ändert sich die Lage unseres Augpunkts und somit unser Standpunkt. Die Grösse der Distanz muss demgemäss in einem gewissen Verhältnis zum Umfang des zu zeichnenden Gegenstandes stehen: je grösser derselbe sein soll, desto grösser muss auch die Distanz sein. § 16. Man nimmt an, dass das Auge eine ihm senkrecht gegenüberstehende kreisrunde oder quadratische Fläche vollständig in der angeführten Weise übersehen kann, wenn seine Entfernung vom Mittelpunkt dieser Fläche wenigstens so gross ist, als ein Durchmesser oder eine Diagonale derselben. Dabei ist vorausgesezt, dass sich das Auge dem Mittelpunkt der Fläche gegenüber befinde. Wenn wir uns z. B. das Quadrat _a b c d_ Fig. 15 als eine senkrecht vor uns stehende Glastafel denken, deren Mittelpunkt unser Augpunkt und deren Diagonale (_a c_ oder _b d_) 4-1/2 Meter lang wäre, so müsste unser Auge von dem Mittelpunkt dieser Tafel wenigstens 4-1/2 Meter entfernt sein, um ohne Veränderung des Standpunkts den ganzen Umfang derselben übersehen zu können. Oder wenn in Fig. 16 _P_ Augpunkt des in _F_ stehenden Beschauers und _a b c d_ eine quadratische Glastafel ist, so müssen die Linien _D P_ und _F f_ wenigstens so lang sein wie _a c_ und _b d_, damit das Auge von _D_ aus die ganze Tafel und alles, was durch dieselbe sichtbar ist, übersehen kann. Befindet sich das Auge nicht dem Mittelpunkt der Bildfläche gegenüber, so ist die Diagonale derselben noch kein hinreichendes Mass der Distanz. Wenn wir z. B. dem Bilde _a b c d_ Fig. 15 so gegenüberstehen, dass _m_ unser Augpunkt ist, so muss, um den von dem Viereck _a b c d_ umschlossenen Raum übersehen zu können, die Distanz wenigstens doppelt so gross sein, als eine Linie von _m_ nach _b_ oder nach _c_, d. h. eben so gross als für ein Rechteck _g b c k_ erforderlich wäre, dessen Mittelpunkt _m_ ist oder für einen von _m_ aus durch _c_ und _b_ beschriebenen Kreis. Dagegen kann die Distanz nach Belieben grösser angenommen werden. § 17. Natürlich ist das Gesagte nicht so aufzufassen, als ob innerhalb eines bestimmten Umkreises alle Gegenstände gleich deutlich, jenseits desselben undeutlich oder gar nicht mehr sichtbar wären, vielmehr nimmt die Deutlichkeit derselben allmälig ab, je weiter sie sich vom Augpunkt entfernen. Es ist aber für die perspectivische Berechnung notwendig, eine Grenzlinie festzusezen, innerhalb deren eine hinreichende Deutlichkeit des Bildes anzunehmen ist. Dieses Mass der kleinsten Distanz ist in den perspectivischen Lehrbüchern verschieden angegeben, wie auch der Umfang dessen, was mit Einem Blick zu übersehen ist, nicht für jedes Auge gleich gross ist. Jedoch kann ohne Gefahr für eine perspectivisch richtige Wirkung nicht wohl ein niedrigeres Mass angenommen werden, als oben geschehen ist. Ist es dem Zeichner durch die Raumverhältnisse unmöglich gemacht, seinen Standpunkt in hinreichender Entfernung zu nehmen, so muss mittels perspectivischer Berechnung das Ganze so gezeichnet werden, wie es sich, in richtiger Entfernung gesehen, dem Auge darstellen würde.[4] [4]: Ein geschickter Zeichner mag sich allerdings zuweilen Abweichungen von dieser wie von andern Regeln gestatten, aber um zu wissen, wo und wie er dies thun kann, ohne dass die Wirkung seiner Zeichnung eine falsche oder zum mindesten unschöne wird, muss er vor allem die Regel kennen, welche hiedurch nichts an ihrer Giltigkeit verliert. § 18. Die Grösse der für eine Zeichnung angenommenen Distanz wird ausgedrückt durch die ~Distanzpunkte~. Ein Distanzpunkt ist ein senkrecht über oder unter dem Augpunkt oder seitwärts von diesem in der Horizontlinie angegebener Punkt, dessen Entfernung vom Augpunkt (im Verhältnis der Zeichnung) der Entfernung unseres Auges vom Augpunkt oder unseres Fusses vom Fusspunkt entspricht. Ist z. B. in Fig. 15 die Linie _a b_ 3 Meter lang und ist die vom Zeichner für das Bild _a b c d_ angenommene Distanz eine solche, dass sein Fuss von _f_, sein Auge von dem (senkrecht über _f_ gedachten) Augpunkt _P_ 4-1/2 Meter entfernt sich befindet, so sind _D_ und _Dg_ Distanzpunkte, indem eine Linie von einem dieser 2 Punkte bis _P_ 1-1/2 mal so gross ist, als _a b_. Zur Unterscheidung werden wir die seitwärts vom Augpunkt liegenden Distanzpunkte ~Diagonalpunkte~ nennen (_Dg_ und _Dp_). Von den beiden andern ist stets der unterhalb des Augpunkts liegende verwendet und als Distanzpunkt (_D_) bezeichnet. Aus § 16 folgt, dass ein Distanzpunkt oder Diagonalpunkt nie innerhalb der Zeichnung liegen kann, da ~seine Entfernung vom Augpunkt wenigstens so gross sein muss, als eine Diagonale derselben, wenn der Augpunkt in der Mitte des Bildes liegt, oder, wenn dies nicht der Fall ist, doppelt so gross als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte der Zeichnung~. § 19. Ein genaues Abmessen der Distanz ist natürlich in den meisten Fällen nicht ausführbar und ist auch behufs Angabe der Distanzpunkte nicht notwendig. ~Die Hauptsache ist, dass eine zu kleine Distanz vermieden wird.~ Um sich beim Zeichnen nach der Natur zu versichern, dass die angenommene Entfernung des Standpunkts eine für den beabsichtigten Umfang des Bildes hinreichende sei, kann man sich eines aus starker Pappe gefertigten Rahmens bedienen, dessen innerer Rand ein Rechteck von 48 : 36 Centimeter bildet. Die Diagonale eines Rechtecks von dieser Grösse entspricht ungefähr der durchschnittlichen Länge des Arms; die Distanz ist also hinreichend gross, wenn der Rahmen, auf Armeslänge vor das Auge gehalten, während der Blick auf den Augpunkt gerichtet ist, den ganzen Gegenstand, welcher gezeichnet werden soll, umschliesst, vgl. Fig. 16. Hiebei wird man sich leicht überzeugen, dass der Umfang des innerhalb des Rahmens sichtbaren Bildes kleiner oder grösser wird, je nachdem man, denselben vor sich haltend, dem Gegenstande näher tritt oder sich von demselben entfernt. § 20. Wenn von der Entfernung einzelner Teile des Bildes von unserem Standpunkt die Rede ist, so kommt dabei nicht in Betracht, ob dieselben mehr in der Mitte oder nach dem Rande desselben liegen, da dies bei richtiger Grösse der Distanz keinen für die perspectivische Berechnung wesentlichen Unterschied macht, sondern es ist damit nur die Entfernung in der Richtung vom Vordergrund nach dem Hintergrund zu gemeint. Um die Entfernung eines Punktes oder einer Linie vom Auge in diesem Sinne zu bezeichnen, gebraucht man häufig den Ausdruck »~Tiefe~«. Man kann z. B. sagen: _a_ und _b_ Fig. 15 liegen in gleicher Tiefe, _a_ und _e_ in verschiedener Tiefe. Das Grundgesez der perspectivischen Formerscheinung. Unverkürzte und verkürzte Stellung der Flächen und Linien. § 21. Das wichtigste und am meisten in die Augen fallende Gesez der Perspective ist, ~dass alle Gegenstände kleiner zu werden scheinen, je weiter sie sich von unserem Standpunkt entfernen~. Alle perspectivischen Formveränderungen lassen sich auf dieses Gesez zurückführen, dessen Begründung wir im Bau unseres Auges und der hiedurch bedingten Art, wie sich in demselben die Gegenstände spiegeln, zu suchen haben. [Illustration: Fig. 19.] Aus jenem Gesez folgt zunächst, dass nur eine Fläche, welche ganz gerade vor uns steht, d. h. senkrecht und parallel mit unserer Augenlinie, wie die Fläche _A_ Fig. 19, dem Auge genau so erscheinen kann, wie sie in Wirklichkeit ist, mit andern Worten so, dass die perspectivische Richtung und das perspectivische Grössenverhältnis ihrer Umrisse und aller in ihr liegenden Linien mit deren geometrischer Richtung und Länge übereinstimmt. Denn in diesem Fall befinden sich sämtliche Teile der Fläche in gleicher Entfernung vom Auge (in gleicher Tiefe). Sobald wir die Tafel _A_, während unser Standpunkt derselbe bleibt, nach irgend einer Seite wenden, so liegen einzelne Teile derselben in ungleicher Tiefe; die ferneren Teile erscheinen infolge dessen verhältnismässig kleiner, als die näheren und die perspectivische Form der ganzen Tafel wird hiedurch eine von ihrer geometrischen Form verschiedene. In _B_ ist z. B. die Linie _b c_ ferner als _a d_, jene erscheint daher kürzer als diese, folglich können die geometrisch parallelen Linien _a b_ und _d c_ nicht mehr parallel und sie können nicht mehr beide rechtwinklig zu _a d_ und _b c_ erscheinen. Wird die Tafel _B_ in mehrere gleich grosse senkrechte Streifen geteilt, so erscheinen diese nach der Linie _b c_ hin allmälig kleiner zu werden, die ganze Fläche erscheint daher schmaler als bei der Stellung _A_, vgl. Fig. 11. § 22. Wenn eine Fläche oder Linie eine solche Stellung zum Auge hat (unser Standpunkt zu ihr ein solcher ist), dass sämtliche Teile derselben in gleicher Tiefe liegen, wie in Fig. 19 _A_ und die an _A_ befindlichen Linien, so nennt man dies die ~unverkürzte Stellung~; eine Fläche oder Linie ist dagegen ~verkürzt~, wenn einzelne Teile derselben dem Auge näher, andere ferner liegen. Unverkürzt sind also in Fig. 19 die Flächen _A_ und _G_, sämtliche senkrechte Linien, die wagrechten Linien _a b_ und _c d_ in _A_ und _D_, _a e_ in _G_, die schrägen Linien _a c_ und _b d_ in _A_, _a d_ und _b c_ in _E_. Alle übrigen Flächen und Linien sind verkürzt. (Man bemerke, dass zwar die schräge ~Fläche~ _E_ verkürzt ist, da _b c_ ferner liegt als _a d_, die schrägen ~Linien~ _a d_ und _b c_ aber in _E_ unverkürzt sind, indem ihre beiden Endpunkte in gleicher Tiefe liegen). ~Die senkrechten Linien haben immer unverkürzte Stellung~, da ihre beiden Endpunkte immer in gleicher Tiefe liegen. Eine senkrechte _Fläche_ dagegen kann sowohl verkürzt sein wie _B_, als unverkürzt wie _A_. ~Die unverkürzten wagrechten Linien eines Bildes sind parallel mit unserer Augenlinie und mit dem Horizont, folglich auch parallel unter sich.~ Wagrechte und schräge ~Flächen~ sind stets verkürzt. § 23. Für Anfänger ist es zweckmässig, einen Bleistift, ein Lineal oder dergl. in der für die Zeichnung angenommenen Richtung der Augenlinie und des Horizonts vor sich zu legen, um mit dieser Normallinie die verschiedenen wagrechten Linien des Gegenstands vergleichen und leichter unterscheiden zu können, ob sie unverkürzt oder verkürzt sind. Sollte man in Betreff einer schrägen Linie im Zweifel sein, ob sie unverkürzt oder verkürzt ist, so denke man sich dieselbe mit einer senkrechten und einer wagrechten Linie zu einem Dreieck verbunden, wie in _G_ die schräge Linie _a d_ mit _a e_ und _e d_ oder in _F_ die Linie _b c_ mit _b e_ und _e c_. Man nennt dies das ~Massdreieck~ einer schrägen Linie. Ist die wagrechte Linie dieses Dreiecks unverkürzt, wie _a e_ in _G_, so ist es auch die schräge; ist erstere verkürzt, wie _b e_ in _F_, so ist auch die schräge Linie verkürzt. § 24. ~Unverkürzte Linien, welche in gleicher Tiefe~ (in Einer unverkürzten senkrechten Fläche) ~liegen~, wie sämtliche Linien der Fläche _A_ Fig. 19, ~behalten ihre geometrische Richtung und ihr geometrisches Grössenverhältnis~; sie erscheinen und werden gezeichnet wie sie in Wirklichkeit sind; ~unverkürzte Linien in ungleicher Tiefe~, wie _a d_ und _b c_ in _B_, _b c_ und _a d_ in _E_, ~behalten ihre geometrische Richtung, nicht aber ihr geometrisches Grössenverhältnis~ (indem die ferneren kleiner erscheinen); ~die perspectivische Länge der verkürzten Linien ist immer, ihre perspectivische Richtung in den meisten Fällen verschieden von ihrer geometrischen Richtung und Länge~. Wo die geometrische Richtung oder Länge einer Linie unverändert bleibt, muss dieselbe entweder nach dem Augenmass oder mit Hilfe von Lineal und Zirkel bestimmt werden. Wir bedürfen für solche Fälle keiner perspectivischen Regel und Berechnung. III. Perspectivische Richtung verkürzter Linien. Verkürzte Parallellinien. § 25. Wenn 2 parallele Linien durch eine Anzahl von Linien verbunden werden, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind nach § 1, Fig. 1 diese Verbindungslinien gleich lang. Haben wir nun parallele Linien in verkürzter Stellung vor uns, wie die Eisenbahnschienen in Fig. 20, so befinden sich die Verbindungslinien, hier die Schwellen, in verschiedener Entfernung vom Auge, sie scheinen daher nach der Ferne hin immer kleiner zu werden, d. h. der Abstand zwischen den beiden verkürzten Parallellinien scheint sich zu verkleinern, sie scheinen näher zusammenzurücken je weiter sie sich von unserem Auge entfernen und wenn sie sich auf sehr weite Entfernung fortsezen, so müssen sie schliesslich in Einem Punkte, wie hier in dem Punkte _P_, zusammentreffen, in welchem sie aufhören sichtbar zu sein. [Illustration: Fig. 20.] Man nennt diesen Punkt den ~Fluchtpunkt~ oder ~Verschwindungspunkt~ der betreffenden Linien. § 26. In demselben Punkte, in welchem 2 verkürzte Parallellinien zusammentreffen, müssen auch alle weiteren mit ihnen parallelen Linien, wie in Fig. 20 die Linien _a P_, _b P_, _c P_, sich treffen, da der Zwischenraum zwischen allen in demselben Verhältnis nach der Ferne hin kleiner wird. Wenn _a b_, _b c_ und _c d_ gleich lang, _a e_ und _d f_ je halb so lang sind als _a b_, so müssen _g h_, _h i_ und _i k_, _m g_ und _k n_ in demselben Verhältnis zu einander stehen, sie werden also zugleich aufhören, sichtbar zu sein. Wenn wir solche Linien auch nicht mit dem Auge verfolgen können bis zu dem Punkte, in welchem sie zusammentreffen würden, sondern sie nur in kürzerer Ausdehnung vor uns haben, wie die geometrisch parallelen Linien _a a_ und _b b_ in Fig. 21, so müssen sie stets so gezeichnet sein, dass der Zwischenraum zwischen ihnen nach der Ferne hin kleiner wird, so dass sie, von ihrem ferner liegenden Ende aus fortgesezt, irgendwo in Einem Punkte zusammentreffen würden, d. h. ~verkürzte Parallellinien müssen die Richtung nach einem gemeinschaftlichen Fluchtpunkt haben~. [Illustration: Fig. 21.] Man vergleiche ausser Fig. 20 und 21 die wagrechten Parallellinien _a a_, _c c_, _f f_ in Fig. 13 und 14, sämtliche wagrechte Linien in Fig. 22, die schrägen Parallellinien _n n_ in Fig. 21, _a c_ und _e d_, _a g_ und _e h_ in Fig. 36, _a_, _b_, _c_ und _d_ Fig. 37 und andere. [Illustration: Fig. 22.] § 27. Sobald wir also 2 verkürzte Parallellinien dieser Regel entsprechend gezeichnet haben, so ist damit auch die perspectivische Richtung aller weiteren mit ihnen parallelen Linien gegeben: man verlängert die zuerst gezeichneten bis zu dem Punkte, in welchem sie zusammentreffen und zieht nach diesem die übrigen. Wie zu verfahren ist, wenn ein Fluchtpunkt ausserhalb der Zeichnung liegt, wie die Fluchtpunkte der Linien _a a_, _b b_, _n n_ in Fig. 21, wird später gezeigt werden. Häufig kann jedoch die genaue Berechnung in solchen Fällen dadurch ersezt werden, dass man einen Papierstreifen an das Zeichenblatt anlegt, um die betreffenden Linien bis zu ihrem Fluchtpunkt verlängern zu können, oder dass man wie in Fig. 21 und 22 sie wenigstens so weit als der Raum gestattet, fortsezt, da sich, je länger sie sind, desto deutlicher beurteilen lässt, ob sie die erforderliche Richtung nach Einem Punkte hin haben. Verkürzte wagrechte Linien. § 28. Wenn wir am Ende eines Zimmers stehend Decke und Fussboden desselben betrachten, so scheint die erstere nach dem jenseitigen Ende des Zimmers hin zu fallen, der Boden scheint nach dorthin anzusteigen; ebenso scheinen alle wagrechten Flächen, welche höher liegen als unser Auge, nach der Ferne hin zu fallen, tiefer liegende scheinen zu steigen. Halten wir aber eine Fläche, z. B. ein dünnes Brett, ein Stück Pappe oder dergl. wagrecht in gleicher Höhe mit unserem Auge vor uns, so sehen wir weder die untere noch die obere Seite dieser Fläche, wir sehen sie nur als eine wagrechte Linie, welche, da der Horizont gleichfalls eine in der Höhe des Auges liegende wagrechte Linie ist, mit diesem zusammenfällt, vgl. Fig. 22. ~Alle wagrechten Flächen scheinen sich also nach dem Horizont hin zu neigen.~ Denn alle wagrechten Flächen sind parallel und sind verkürzt. Daher scheint der Zwischenraum zwischen 2 wagrechten Flächen, z. B. zwischen Decke und Fussboden, nach der Ferne hin immer kleiner zu werden, sie scheinen einander näher zu rücken, ebenso wie verkürzte parallele Linien. Wie diese nach Einem Punkte, so scheinen alle wagrechten Flächen nach Einer Linie hinzustreben und diese Linie kann nach dem Gesagten nur der Horizont sein: ~der Horizont ist die gemeinschaftliche Fluchtlinie oder Verschwindungslinie aller wagrechten Flächen~. § 29. Mit den wagrechten Flächen scheinen auch die in ihnen liegenden verkürzten Linien[5] zu steigen oder zu fallen; jede wagrechte Linie kann als Teil einer wagrechten Fläche gedacht werden; ~folglich müssen verkürzte wagrechte Linien, wenn sie tiefer liegen als unser Auge, d. h. unterhalb des Horizonts, von ihrem näheren nach ihrem entfernteren Endpunkte zu steigen; wenn sie höher liegen als unser Auge, d. h. über dem Horizont, so müssen sie nach der Ferne hin fallen; wagrechte Linien aber, welche mit dem Auge in gleicher Höhe liegen, bleiben wagrecht, auch wenn sie verkürzt sind~. Mit andern Worten: ~die Fluchtpunkte aller verkürzten wagrechten Linien liegen im Horizont~; jede muss so gezeichnet sein, dass sie, von ihrem entfernteren Ende aus verlängert, in irgend einem Punkte den Horizont trifft und dieser Punkt ist zugleich der Fluchtpunkt aller mit ihr parallelen Linien; vgl. Fig. 20, 21, 22. [5]: In einer senkrechten Fläche können sowohl senkrechte als wagrechte und schräge Linien liegen, in einer schrägen Fläche nur schräge und wagrechte, in einer wagrechten Fläche nur wagrechte Linien, vgl. die Flächen _A_, _D_ und _C_, Fig. 19. Haben wir also wagrechte Parallellinien in verkürzter Stellung zu zeichnen, so ist, sobald die perspectivische Richtung für eine derselben bestimmt ist, auch die Richtung der übrigen gegeben: man verlängert die erstere bis zum Horizont und nach dem Punkte, in welchem sie ihn trifft, werden die andern gezogen. § 30. Die Lage dieser Fluchtpunkte kann nun, wie schon die bisherigen Beispiele zeigen, eine sehr verschiedene sein. Es entsteht also die Frage, an welcher Stelle des Horizonts in diesem oder jenem Falle der Fluchtpunkt einer wagrechten Linie liegen muss, d. h. in welchem Grade die verschiedenen wagrechten Linien nach dem Horizont hin fallen oder steigen müssen. Die allgemeine Regel in dieser Beziehung ist, ~dass der Fluchtpunkt einer verkürzten wagrechten Linie da liegt, wo eine parallel mit ihr vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde~. Denn verkürzte Parallellinien haben denselben Fluchtpunkt. Z. B.: _a_, _b_, _c_, _d_, _e_ Fig. 23 sind verkürzte wagrechte Linien, welche zu der unverkürzten Wagrechten _A B_ verschiedene Winkel bilden. Der Horizont ist parallel mit den unverkürzten wagrechten Linien unseres Gegenstandes (§ 22), der Winkel also, in welchem eine verkürzte wagrechte Linie in Wirklichkeit zu einer unverkürzten Wagrechten steht, ist derselbe, in welchem sie auch zum Horizont steht. Die geometrische Stellung der Linien _a_, _b_, _c_, _d_, _e_ zu _A B_ Fig. 23 ist in Fig. 24 angegeben. Dies ist auch ihre Winkelstellung zum Horizont. Denken wir uns nun, dass die 5 Stäbe in Wirklichkeit so wie sie hier gezeichnet sind vor uns liegen und dass parallel mit denselben 5 Linien von unserem Auge nach dem Horizont gezogen seien, so müssten die Punkte, in welchen die von unserem Auge ausgehenden Linien den Horizont treffen, die Fluchtpunkte der 5 Stäbe sein. Wenn man sich hievon eine deutliche Vorstellung macht, etwa indem man einen langen Stab parallel mit einer verkürzten Linie des zu zeichnenden Gegenstands vor's Auge hält, so wird man die Lage ihres Fluchtpunkts annähernd bestimmen können; man wird z. B. verstehen, dass der Fluchtpunkt von _e_ sehr weit nach rechts, der Fluchtpunkt von _d_ näher nach dem Augpunkt hin liegen muss u. s. w. [Illustration: Fig. 23.] [Illustration: Fig. 24.] § 31. Die Stellung einer Linie zum Horizont ist jedoch immer eine willkürliche, da die Richtung des lezteren von der zufälligen Wahl unseres Standpunkts abhängt. ~Wenn wir die Lage des Fluchtpunkts einer wagrechten Linie genauer berechnen, so geschieht dies nicht, damit ihre Stellung zum Horizont, sondern damit ihre Stellung zu andern Linien des Bildes eine richtige Wirkung mache. Nur wo es sich um eine bestimmte und notwendige Winkelstellung wagrechter Linien zu einander handelt, bedürfen wir einer genaueren Regel in Betreff der Lage ihrer Fluchtpunkte und können wir eine solche anwenden.~ Nehmen wir z. B. in Fig. 23 als Fluchtpunkt der Linie _d_ den Punkt _y_ statt _x_ an, so scheint der Winkel, in welchem _d_ zu _e_ steht, grösser, ihr Winkel zu _c_ kleiner zu sein, als wenn _x_ Fluchtpunkt ist. Aber die Winkelstellung dieser Linien zu einander und zu den übrigen Linien des Gegenstands ist ebenso willkürlich und zufällig, wie ihre Stellung zum Horizont. Mit blossem Auge würde der Beschauer auch nicht mit Bestimmtheit zu erkennen vermögen, dass ihre geometrische Stellung zu _A B_ und zum Horizont oder ihre Stellung zu einander genau die in Fig. 24 angegebene ist. Also können wir auch die perspectivische Stellung dieser Linien zum Horizont und zu einander nicht genau berechnen und ist es für die perspectivische Richtigkeit der Zeichnung ohne Belang, ob beispielsweise _y_ oder _x_ als Fluchtpunkt der Linie _d_ angenommen wird. Ebenso ist in Fig. 14 die Winkelstellung der verkürzten wagrechten Linien _g_ und _h_, sowie der Linien _a_, _b_, _c_, _d_ zu den übrigen Linien des Bildes eine willkürliche. Notwendig ist nur, dass _g_ und _h_, _a_ und _b_, _c_ und _d_ als parallele Linien erscheinen und dass die Linien _a_, _b_, _c_, _d_ ein Rechteck darstellen. Wir überlassen es deshalb dem Auge des Zeichners, zuerst die Richtung für eine der Linien _g_ oder _h_ und für eine Seite des genannten Rechtecks zu bestimmen, natürlich mit Rücksicht darauf, dass die Fluchtpunkte dieser Linien im Horizont liegen müssen, da sie geometrisch wagrecht sind. Aber angenommen, dass _g_ und _a_ die zuerst gezeichneten Linien seien, so ist damit nicht nur die perspectivische Richtung der mit jenen parallelen Linien _h_ und _b_, sondern auch der rechtwinklig zu _a_ stehenden Linien _c_ und _d_ gegeben. Für die Lage des Fluchtpunkts der 2 lezteren sind ebenso wie für die Richtung der verkürzten Parallellinien bestimmte Regeln massgebend. Unsere nächste Aufgabe soll demgemäss die Beantwortung der Frage sein, ~welche Stellung in unserer Zeichnung wagrechte Linien zu einander haben müssen, welche in Wirklichkeit rechtwinklig zu einander stehen~, wie _a_ und _d_ oder _e_ und _f_ in Fig. 14, mit andern Worten, nach welcher Regel der Fluchtpunkt einer verkürzten wagrechten Linie zu bestimmen ist, welche zu einer gegebenen Wagrechten geometrisch rechtwinklig steht. Rechtwinklige wagrechte Linien. § 32. Man unterscheidet die ~gerade Ansicht eines rechten Winkels, Rechtecks oder Quadrats~, d. i. wenn nur eine der beiden Linien, welche einen rechten Winkel bilden, verkürzt, die andere aber unverkürzt ist, wie _A B_ und _B C_ oder _A D_ und _D C_ in Fig. 25 und die ~schräge Ansicht~, d. i. wenn beide Schenkel des Winkels verkürzt sind, wie _a b_ und _b c_ oder _a d_ und _d c_. Der Ausdruck »schräg« bezieht sich also in diesem Zusammenhang auf die Stellung wagrechter Linien zum Auge oder zum Horizont. [Illustration: Fig. 25.] In § 12 Fig. 15 und 16 wurde gezeigt, dass eine vom Auge nach dem Augpunkt gezogene Linie einen rechten Winkel zum Horizont bilden würde, d. h. mit andern Worten: ~wenn wir uns eine Linie von unserem Auge nach dem Horizont gezogen denken, so dass sie rechtwinklig zu diesem steht, so trifft sie den Augpunkt, der Augpunkt ist ihr Fluchtpunkt~. Steht nun eine verkürzte wagrechte Linie geometrisch rechtwinklig zu einer unverkürzten Wagrechten, wie in Fig. 25 _A D_ oder _B C_ zu _C D_, so steht sie auch zum Horizont in einem rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer von unserem Auge nach dem Augpunkt gehenden Linie und muss mit dieser denselben Fluchtpunkt haben. ~Also ist der Augpunkt der Fluchtpunkt aller verkürzten wagrechten Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten (zum Horizont) geometrisch rechtwinklig stehen~ oder welche, wie man häufig sagt, sich in gerader Linie von uns entfernen. Vgl. in Fig. 14 die Linien _f_, _f_, in Fig. 20 _a P_, _b P_, _c P_ u. s. w. § 33. Sind beide Linien, welche den rechten Winkel bilden, verkürzt, wie in dem Rechteck _a b c d_ Fig. 25, so ist die Frage, wie gross die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander, d. h. das Stück des Horizonts, welches zwischen beiden liegt, sein muss. Denn je nachdem der Winkel, in welchem 2 verkürzte Linien zu einander stehen, grösser oder kleiner ist, wird auch die Entfernung ihrer beiden Fluchtpunkte eine grössere oder kleinere sein und umgekehrt, wie aus § 31 Fig. 23 zu ersehen ist. [Illustration: Fig. 26.] Ausser der geometrischen Grösse des betreffenden Winkels ist jedoch auch die Grösse der Distanz von Einfluss auf den Abstand der Fluchtpunkte seiner beiden Schenkel. Eine vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie, welche zu diesem rechtwinklig steht, trifft immer den Augpunkt und so kann auch die verkürzte Seite eines rechten Winkels in gerader Ansicht nur im Augpunkt ihren Fluchtpunkt haben, gleichviel, ob unsere Distanz grösser oder kleiner ist. Steht aber eine verkürzte Wagrechte in einem beliebigen andern Winkel zum Horizont oder zu einer unverkürzten Wagrechten, so liegt der Punkt, in welchem eine parallel mit ihr d. h. in demselben Winkel vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde, näher am Augpunkt oder entfernter von ihm, je nachdem die Entfernung des Auges vom Augpunkt grösser oder kleiner ist. Dieselbe Linie, welche in Fig. 26 von _a_ aus gezogen die Linie _m n_ in _z_ trifft, trifft sie von _b_ aus in _p_, von _c_ aus in _n_ u. s. w. Und wenn wir 2 verkürzte wagrechte Linien vor uns haben, welche in Wirklichkeit rechtwinklig (oder in einem beliebigen Winkel) zu einander stehen, so werden die 2 Punkte, in welchen 2 parallel mit ihnen vom Auge ausgehende Linien den Horizont treffen, desto näher beisammen liegen, je kleiner die Distanz ist und desto weiter von einander entfernt sein, je grösser dieselbe ist, wie Fig. 26 deutlich zeigt: _o p_ ist grösser als _y z_, _m n_ grösser als _o p_. [Illustration: Fig. 27.] Demnach kann der Abstand der beiden Fluchtpunkte eines rechten Winkels in schräger Ansicht ein sehr verschiedener sein. So zeigt Fig. 27 zwei verschiedene Ansichten eines Rechtecks, welche es in derselben Stellung, aus derselben Höhe und Richtung, aber aus verschiedener Entfernung gezeichnet darstellen. Mit zunehmender Distanz erscheint nicht nur das Ganze kleiner, sondern auch die Form der rechten Winkel wird eine verschiedene: da mit der Distanz die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander zunimmt, so erscheinen die Seitenwinkel bei _b_ und _d_ in _B_ spizer, der Winkel bei _a_ und _c_ erscheint stumpfer als in _A_. Natürlich ist die Wirkung dieselbe, wenn wir, statt die Entfernung unseres Standpunkts zu verändern, den betreffenden Gegenstand näher oder ferner rücken, vgl. Fig. 29. Es muss daher die genaue Grösse der für eine Zeichnung angenommenen Distanz mittels eines Distanzpunkts angegeben und dieser zu Hilfe genommen werden, wenn der Abstand jener 2 Fluchtpunkte von einander genau berechnet werden soll. Wie lezteres geschehen kann, ist in § 81--85 gezeigt. Da jedoch die Grösse der vom Zeichner angenommenen Distanz mit blossem Auge aus den Linien einer Zeichnung nicht zu ersehen ist, so kann gewöhnlich diese genauere Berechnung entbehrt und durch Beobachtung der nachfolgenden Regel ersezt werden. § 34. ~Überall, wo die Grösse der Distanz von wesentlichem Einfluss ist auf die perspectivische Form, kommt es hauptsächlich darauf an, die falsche Wirkung zu vermeiden, welche aus einer zu klein angenommenen Distanz entsteht. Bei Darstellung eines rechten Winkels in schräger Ansicht entsteht diese falsche Wirkung, wenn die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander zu klein ist.~ [Illustration: Fig. 28.] Betrachten wir in Fig. 28 _D_ als unser Auge, _P_ als Augpunkt, so bezeichnet die Linie _D P_ die Grösse der Distanz. Ziehen wir nun (mit Hilfe des Winkels Fig. 9) von _D_ aus in verschiedener Richtung je 2 rechtwinklig zu einander stehende Linien nach der durch _P_ gehenden Wagrechten d. h. nach dem Horizont, z. B. _D c_ und _D d_, _D a_ und _D b_, _D Dg_ und _D Dp_, so ergibt sich, dass die 2 Punkte, in welchen die verschiedenen Linienpaare den Horizont treffen, dann den geringsten Abstand von einander haben, wenn sich die beiden Linien in der Stellung zum Horizont befinden, welche _D Dg_ und _D Dp_ zeigen. Diese stehen zum Horizont, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, wie _m n_ und _m o_ zu _o n_, d. h. beide stehen in einem halben rechten Winkel zum Horizont. _Dg_ und _Dp_ sind Diagonalpunkte: ihre Entfernung vom Augpunkt ist gleich der Distanz und ihre Entfernung von einander doppelt so gross als die Distanz, _Dg--Dp_ ist gleich 2 mal _Dp_. Bei jeder andern Stellung der beiden Linien zum Horizont ist der Abstand jener beiden Punkte ein grösserer und er wird immer grösser, je ungleicher die Stellung der beiden Linien zum Horizont ist: _c d_ ist grösser als _Dp--Dg_, _a b_ grösser als _c d_ u. s. w. § 35. Hieraus folgt, ~dass die 2 Fluchtpunkte eines rechten Winkels in schräger Ansicht wenigstens so weit von einander entfernt sein müssen, dass der zwischen ihnen liegende Teil des Horizonts doppelt so gross ist, als die Distanz~. Diese muss nach § 18 wenigstens doppelt so gross sein, als eine Diagonale des Bildes, oder als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte, ~also muss, wenn beide Schenkel eines aus 2 wagrechten Linien bestehenden rechten Winkels verkürzt sind, die Entfernung ihrer Fluchtpunkte von einander wenigstens 4 mal so gross sein, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte der Zeichnung~. Z. B. in Fig. 31 müssen, wenn _A B_ und _A C_ geometrisch rechtwinklige Linien sind, _P_ Augpunkt und _f_ die von _P_ entfernteste Ecke des Bildes ist, die Fluchtpunkte der beiden genannten Linien einen Abstand von einander haben, der wenigstens = 4 mal _P f_ ist. Kommen in demselben Bilde verschiedene rechte Winkel in schräger Stellung vor, so müssen sie selbstverständlich in übereinstimmender Weise behandelt, d. h. es muss überall dieselbe Distanz zu Grunde gelegt werden. Die falsche Wirkung, welche entsteht, wenn gegen jene Regel gefehlt wird, zeigt Fig. 29. Die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander ist = 4 mal _P f_; daher wirken alle rechten Winkel, welche innerhalb der Kreislinie _f f_ liegen, perspectivisch richtig, aber die Winkel bei _m_, _n_ und _o_ können nicht mehr als rechte Winkel gelten. [Illustration: Fig. 29.] Andererseits zeigt Fig. 25, dass dem Zeichner innerhalb der angegebenen Grenze einige Freiheit gestattet ist: _a b e f_ wird auch dem geübtesten Auge ebenso als richtiges Bild eines Rechtecks erscheinen, wie _a b c d_. § 36. Allerdings ist nicht sofort ersichtlich, wie gross die Entfernung der beiden Fluchtpunkte ist oder sein muss, da niemals beide innerhalb der Zeichnung, häufig dagegen weit ausserhalb derselben liegen. Will man sich nicht mit der Aushilfe begnügen, welche § 27 in Betreff entfernter Fluchtpunkte angegeben wurde, so ist in Fig. 30 eine genauere Berechnung gezeigt. _A B_ und _A C_ seien 2 verkürzte wagrechte Linien. Eine von _A_ zum Horizont gezogene Senkrechte _A P_ ist in 4 gleiche Teile geteilt und vom oberen Teilungspunkt _a_ sind 2 Linien _a b_ und _a c_ geometrisch parallel mit _A B_ und _A C_ gezogen, indem an beliebigen Punkten der lezteren Linien z. B. in _D_ und _E_ 2 Senkrechte errichtet und _D d_ und _E e_ = _A a_ gemacht wurden. _c b_ kann nun als ein Viertel des Abstandes betrachtet werden, welchen die Fluchtpunkte der Linien _A B_ und _A C_ von einander haben und es lässt sich hienach bemessen, ob derselbe hinreichend gross ist. Wäre z. B. _f_ der von _P_ entfernteste Punkt der Zeichnung, so dürften die beiden Linien _A B_ und _B C_ nicht stärker als hier der Fall ist gegen einander geneigt sein, der Abstand ihrer Fluchtpunkte dürfte nicht kleiner sein als 4 mal _c b_; denn _c b_ ist = _P f_. [Illustration: Fig. 30.] Oder: wenn _A B_ als erste Linie gezeichnet ist, so muss, nachdem _a b_ parallel mit _A B_ gezogen und _b c_ = _P f_ gemacht ist, die zweite von _A_ ausgehende Linie entweder parallel mit _a c_ oder nach einem ferner liegenden Fluchtpunkt gerichtet sein, d. h. eine flachere Richtung haben, als _A C_. Würden bei einer Vierteilung der erstgenannten Senkrechten nicht beide den Punkten _b_ und _c_ entsprechenden Punkte innerhalb der Zeichnung fallen, so halbiere man das dem Horizont zunächst liegende Viertel und ziehe von hier aus die beiden Linien nach dem Horizont, also _i g_ und _i k_ statt _a b_ und _a c_. Die Punkte, wo sie den Horizont treffen, hier _g_ und _k_, müssen in diesem Fall einen Abstand haben, der wenigstens halb so gross ist, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte. Verkürzte wagrechte Linien, deren Richtung nicht genau zu berechnen ist. § 37. Wo die perspectivische Richtung einer verkürzten wagrechten Linie ohne genauere Berechnung gefunden werden muss, bietet die Vergleichung mit einer unverkürzten Wagrechten das beste Mittel, um den Grad, in welchem jene nach dem Horizont hin fallen oder steigen muss, richtig zu beurteilen. Man halte zu diesem Zweck den Rand des Zeichenblattes, ein Lineal oder dergl. in der Richtung einer unverkürzten Wagrechten so zwischen Auge und Gegenstand, dass ein Endpunkt der verkürzten Linie, welche man zeichnen will, davon durchschnitten wird, wie in Fig. 34 der Punkt _a_ von der Linie _e f_. Übrigens ist auch die perspectivische Länge einer verkürzten Linie von wesentlichem Einfluss auf die richtige oder unrichtige Wirkung ihrer perspectivischen Richtung. Je weniger die Stellung einer verkürzten Wagrechten zum Horizont von der Richtung des lezteren abweicht, desto weniger verändert sich ihr Grössenverhältnis zu andern Linien; je mehr sie der rechtwinkligen Stellung zum Horizont, ihr Fluchtpunkt dem Augpunkt sich nähert, desto kürzer scheint sie zu werden, vgl. Fig. 23. Es kommt nun häufig vor, dass die perspectivische Richtung verkürzter Linien, wenn sie ganz der Regel entsprechend angegeben ist, dennoch eine falsche Wirkung macht, weil ihr perspectivisches Grössenverhältnis verfehlt ist und zwar geschieht dies gewöhnlich in der Weise, dass sie zu lang gezeichnet wird (vgl. § 7). Wagrechte Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist. [Illustration: Fig. 31.] § 38. In Fig. 31--33 ist gezeigt, wie die Richtung verkürzter wagrechter Parallellinien, deren Fluchtpunkt nicht erreichbar ist, genau berechnet werden kann. Es seien in Fig. 31 gegeben die Wagrechten _A B_ und _A C_ sowie die Senkrechten _A D_ und _C E_ und sollen von _D_ und _E_ Linien parallel mit _A B_, von _D_ und _B_ 2 weitere parallel mit _A C_ gezeichnet werden. Man bilde über _A B_ mit der Horizontlinie und einer in _B_ errichteten Senkrechten das Rechteck _A B b P_ und errichte in _i_, dem Schnittpunkt seiner Diagonalen, eine Senkrechte, ziehe hierauf eine Linie von _D_ nach _b_ und von _P_ durch den Punkt _k_, in welchem _D b_ jene Senkrechte schneidet, eine Linie nach der verlängerten _B b_, so ist _D G_ perspectivisch parallel mit _A B_. Ebenso ist auf der andern Seite durch die Diagonalen des Rechtecks _A C c P_ dessen perspectivischer Mittelpunkt gefunden und eine in diesem errichtete Senkrechte benüzt, um die Lage des Punktes _d_ und hiemit die Richtung der mit _A C_ parallelen Linie _D d_ zu bestimmen. Um von _E_ eine mit _A B_ parallele Linie zu zeichnen, kann leztere bis zu der durch _E_ gehenden Senkrechten also bis _s_ verlängert und die perspectivische Mittellinie des Rechtecks _s A P c_ wie oben benüzt werden, um den Punkt _t_ zu erhalten. Oder kann seitwärts ein Rechteck _s o H c_ gebildet, mittels seiner senkrechten Halbierungslinie oben der Punkt _e_ gefunden und hierauf _e E_ nach rechts verlängert werden. Wie auf gleiche Weise die mit _A C_ parallele Richtung der von _B_ ausgehenden Linie _B g_ und damit _B r_ mittels der Halbierungslinie eines Rechtecks _b a f h_ gefunden wird, ist aus den Linien der Figur zu ersehen. Statt der Linie _A C_ könnte auch eine andere mit ihr parallele Linie z. B. _d D_ verlängert und durch die Diagonalen _y h_ und _z b_ die Mittellinie von _b h z y_ gefunden werden. Um schliesslich den Punkt _F_ zu erhalten, kann von _C_ eine mit _A B_ parallele Linie gezeichnet und in dem Punkte _r_, in welchem sie die verlängerte _B g_ trifft, eine Senkrechte errichtet werden, welche die parallel mit _A B_ von _E_ ausgehende Linie in _F_ schneidet. Ist so das schräg liegende Rechteck _E D G F_ gegeben, so lässt sich die schräge Mittellinie desselben (welche sich durch Verbindung des perspectivischen Halbierungspunktes von _D G_ mit dem Schnittpunkt der Diagonalen _D F_ und _E G_ ergibt) verwenden, um von einem beliebigen Punkte der Linien _D E_ oder _G F_ eine mit _D G_ parallele Linie zu ziehen, z. B. _m n_. § 39. In Fig. 32 sollen, nachdem _A B_ und _A C_ als Seiten eines Rechtecks gegeben sind, die beiden andern Seiten gezeichnet werden. Da der Raum nicht gestattet, die genannten Linien wie in Fig. 31 bis zu den 2 von _C_ und _B_ abwärts gezogenen Senkrechten zu verlangen, so sind _A a_, _B b_ und _C c_ halbiert und durch die Halbierungspunkte die Linien _g f e_ und _h f k_ gezogen, welche perspectivisch parallel sind mit _A B_ und _A C_. Entsprechend § 38 ist nun eine Senkrechte durch _i_, den Schnittpunkt der Diagonalen _a e_ und _c f_ gezogen, welche von der Linie _f C_ in _m_ geschnitten wird. Eine Linie von _e_ durch _m_ ergibt auf der Senkrechten _A a_ den Punkt _p_ und die mit _A B_ parallele Richtung _C p_. In gleicher Weise ist die mit _A C_ parallele Richtung _B o_ durch die senkrechte Mittellinie des Rechtecks _a b k f_ gefunden; statt dessen könnte auch, wie die Figur zeigt, ein seitwärts gebildetes Rechteck zu demselben Zweck verwendet werden. [Illustration: Fig. 32.] Bequemer wäre jedoch in diesem Fall das in Fig. 33 angewendete Verfahren, wo gleichfalls _A B_ und _A C_ die gegebenen Seiten eines zu bildenden Rechtecks sein sollen. [Illustration: Fig. 33.] Wenn in einem von 6 Quadraten oder Rechtecken umschlossenen Raume zwischen 2 entgegengesezten Ecken Diagonallinien gezogen werden, wie in Fig. 40 die Linien _a b_ und _B c_, so schneiden sich dieselben in der Mitte jenes Raums: _p_ Fig. 40 ist die Mitte von _A B b C c a G h_. Eine durch _p_ gezogene Senkrechte trifft also die Rechtecke _a G h c_ und _A B b C_ in dem Durchschnittspunkt ihrer Diagonalen. Ziehen wir nun in Fig. 33 von _A_, _B_ und _C_ bis zum Horizont die Senkrechten _A a_, _B b_ und _C c_, so entsprechen die Linien _B c_ und _C b_, welche sich in _e_ schneiden, den Diagonalen _B c_ und _a b_ Fig. 40 und eine von _e_ abwärts gezogene Senkrechte ergibt _o_ als perspectivische Mitte der Diagonale _C B_. Die Diagonalen _A b_ und _a B_ schneiden sich in _k_, _A c_ und _a C_ in _i_; _g_ und _m_ sind also die perspectivischen Halbierungspunkte von _A B_ und _A C_; _z_ ist Fluchtpunkt der Diagonale _A o_ und folglich auch der von _g_ nach der Mitte von _B D_ gehenden Linie, da beide geometrisch parallel sind. _g z_ und die verlängerte _m o_ schneiden sich in _n_, _A z_ und die verlängerte _B n_ in _D_, womit die Form des Rechtecks gegeben ist. Die verlängerten Mittellinien _m n_ und _g o_ können sodann benüzt werden, um entsprechend Fig. 31 und 32 weitere mit _A B_ und _A C_ parallele Linien zu ziehen. Soll z. B. von _d_ nach links eine mit _A C_ parallele Linie gezeichnet werden, so schneidet man die verlängerte _m n_ durch _D d_ in _p_ und zieht von _B_ durch _p_ eine Linie nach _f_; _d f_ ist somit parallel mit _A C_ und _B D_. § 40. Muss eine grössere Anzahl von Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist, gezeichnet werden, so würde es zu umständlich sein, jede einzelne genau zu berechnen. Man kann sich in diesem Fall begnügen, einige in passenden Zwischenräumen zu konstruieren, um mit Hilfe derselben ohne weitere Berechnung die übrigen zu zeichnen. So können in Fig. 21, wenn die Richtung _c d_ gegeben ist, mittels der senkrechten Halbierungslinie von _c d e f_ die von _g_, _h_ und _i_ ausgehenden Parallellinien genau berechnet und sodann die zwischen ihnen liegenden ohne weitere Berechnung gezeichnet werden. Oder können von 2 beliebigen Punkten der zuerst gezeichneten Wagrechten 2 Senkrechte bis zum Horizont gezogen und beide in eine gleiche Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden wie in Fig. 30 _A P_, _B G_ und _C F_ in je 4 Teile geteilt sind. Durch die Verbindung der entsprechenden Teilungspunkte erhält man perspectivische Parallellinien, zwischen welchen dann weitere gezogen werden können, vgl. Fig. 75 die Teilung von _A D_ und _B C_ in je 9 Teile. Je nach Bedürfnis kann sodann dieselbe Einteilung nach oben oder unten in der Verlängerung jener Senkrechten fortgesezt werden. Ein weiteres Verfahren, die Richtung verkürzter Parallellinien ohne Hilfe ihres Fluchtpunkts zu bestimmen, ist in § 70 angegeben. Verkürzte schräge Linien. § 41. In Fig. 36 ist _a c_ eine nach der Ferne hin steigende, _a g_ eine dorthin fallende Linie. (Wenn im Folgenden von fallenden oder steigenden Linien die Rede ist, so sind immer Linien gemeint, welche in ~Wirklichkeit~ oder geometrisch nach der Ferne hin fallen oder steigen). Bilden wir das Massdreieck dieser Linien (vgl. § 23) mittels der Wagrechten _a b_ und der 2 Senkrechten _b c_ und _b g_, so ist klar, dass eine steigende Linie wie _a c_, soweit man sie verlängern mag, niemals einen Punkt treffen kann, der unterhalb der wagrechten Linie ihres Massdreiecks oder deren Verlängerung liegt und ebenso wenig eine fallende Linie wie _a g_ einen Punkt, der über jener Wagrechten liegt. ~Also liegt der Fluchtpunkt einer verkürzten schrägen Linie oberhalb des Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin steigt, unterhalb des Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin fällt~; vgl. die steigenden und fallenden Linien in Fig. 37. § 42. Es kann vorkommen, dass gemäss dieser Regel eine steigende Linie so gezeichnet werden muss, dass ihr fernerer Endpunkt tiefer liegt als der nähere, vgl. _a c_ Fig. 34. Häufiger ist der umgekehrte Fall, dass Linien, welche in Wirklichkeit nach der Ferne hin fallen, perspectivisch nach dorthin steigen, wie _a b_ und _c d_ Fig. 35. [Illustration: Fig. 34.] In solchen Fällen ist es nötig, durch Hervorheben von geometrisch wagrechten Linien der nächsten Umgebung, welche zu den betreffenden schrägen Linien einen sichtbaren Gegensaz bilden, die Wirkung der lezteren zu unterstüzen, damit sie mit hinreichender Deutlichkeit das ausdrücken, was sie sein sollen. In Fig. 34 sind es z. B. die Balken der rechten Seite, in Fig. 35 die wagrechten Fugenlinien der anstossenden Mauer, welche es dem Beschauer deutlich machen, dass _a c_ dort eine in Wirklichkeit von _a_ nach _c_ steigende, _a b_ in Fig. 35 eine nach _b_ fallende Linie ist. [Illustration: Fig. 35.] § 43. In Fig. 36 sind _a b_ und _e f_ wagrechte Parallellinien, ebenso _a e_, _b f_ und _c d_; _a c_ und _e d_ sind schräge Parallellinien. Wenn zwischen parallelen Linien Verbindungslinien liegen, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang (§ 1, Fig. 1); also sind _a e_, _b f_ und _c d_ gleich lang, d. h. die Entfernung der schrägen Parallellinien _a c_ und _e d_ und diejenige der wagrechten _a b_ und _e f_ von einander ist gleich gross. Da der Abstand dieser Parallellinien von einander nach der Ferne hin in gleichem Masse kleiner zu werden scheint, d. h. in gleicher Tiefe immer wieder derselbe ist -- _m n_ ist = _o p_ u. s. w. -- so müssen beide in gleicher Tiefe zusammentreffen, d. h. ihre Fluchtpunkte müssen in Einer senkrechten Linie liegen, wie Fig. 36 deutlich zeigt. [Illustration: Fig. 36.] Dasselbe gilt selbstverständlich für die fallenden Linien _a g_ und _e h_. Mit andern Worten: ~der Fluchtpunkt einer verkürzten schrägen Linie liegt senkrecht über oder unter dem Fluchtpunkt der wagrechten Linie ihres Massdreiecks~. So liegt in Fig. 37 der Fluchtpunkt der Linien _a_, _b_, _c_ und _d_ senkrecht über _n_, der Fluchtpunkt der Linien _g_ und _i_ senkrecht unter _n_, die Fluchtpunkte von _e_, _f_ und _k_ liegen in einer Senkrechten, welche durch den Fluchtpunkt der Wagrechten _o_ und _p_ geht. Ist demnach _a c_ Fig. 36 als Richtung einer schrägen Linie, _a b_ als Richtung der wagrechten Linie ihres Massdreiecks angenommen, so ist auch die perspectivische Richtung aller mit _a c_ parallelen Linien gegeben, indem _a b_ bis zum Horizont, _a c_ bis zu der senkrechten durch den Fluchtpunkt von _a b_ gehenden Linie verlängert und so der die Richtung der parallelen Linien bestimmende Fluchtpunkt gefunden wird. § 44. ~Befinden sich in einer verkürzten senkrechten Fläche steigende und fallende Linien, welche in Wirklichkeit denselben Neigungswinkel haben, so liegen ihre Fluchtpunkte in gleicher Entfernung vom Horizont.~ Solche Linien sind z. B. _a c_ und _a g_ Fig. 36; _a_ und _g_, _d_ und _i_, _f_ und _k_ Fig. 37. In Fig. 36 ist _a c g_ in Wirklichkeit ein gleichschenkliges Dreieck, also muss eine von seiner Spize _a_ nach der Grundlinie _c g_ gezogene Wagrechte die leztere in ihrem Halbierungspunkt _b_ treffen; werden _a c_ und _a g_ verlängert und an beliebiger Stelle durch eine Senkrechte _s m_ verbunden, so wird leztere durch die verlängerte _a b_ gleichfalls halbiert, also muss auch _z_, der Fluchtpunkt von _a b_, in der Mitte liegen zwischen _x_ und _y_, den Fluchtpunkten von _a g_ und _a c_. [Illustration: Fig. 37.] In Fig. 37 ist _h h_ parallel mit _i i_ (da beide denselben Fluchtpunkt haben) und die Senkrechte _y z_ wird von der Wagrechten _m n_ in der Mitte durchschnitten. Ebenso muss _n_ in der Mitte liegen zwischen den Fluchtpunkten der Linien _h_, _i_, _g_ und _c_, _d_, _a_; die Fluchtpunkte von _e_, _f_ und _k_ müssen gleich weit entfernt sein vom Fluchtpunkt der Wagrechten _o_ und _p_. Berechnung der Richtung schräger Linien ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte. § 45. Man bedient sich jedoch, um die Richtung verkürzter schräger Linien zu berechnen, selten ihrer Fluchtpunkte, da dieselben in den meisten Fällen ausserhalb der Zeichenfläche liegen. Den nächstliegenden Ersaz bietet die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks. Ist Richtung und Länge der wagrechten sowie die Höhe der senkrechten Linie eines solchen Dreiecks gegeben oder leicht zu berechnen, so ist damit auch die Richtung (und Länge) der betreffenden schrägen Linien gefunden. Nehmen wir z. B. an, dass in Fig. 38 die Linie _A C_ gegeben sei und darüber ein Giebel von beliebiger Höhe, dessen 2 Seiten mit _A C_ in Wirklichkeit ein gleichschenkliges Dreieck bilden, gezeichnet werden soll, so kann _k_ als perspectivische Mitte von _A C_ durch die Diagonalen eines Rechtecks _A C E D_ oder _A C g f_ gefunden und in _k_ eine Senkrechte errichtet werden, in welcher die Spize des Giebeldreiecks liegen muss. -- Ist das Dreieck _A B k_ gegeben, so dass der Punkt _C_ bestimmt werden muss, so bildet man mit _A k_ und einer beliebigen Parallellinie, z. B. _i D_, ein Rechteck _A k i D_ und zieht eine Linie von _D_ durch die Mitte von _i k_ nach der verlängerten _A k_, wodurch _C k_ = _A k_ gemacht ist. [Illustration: Fig. 38.] Soll, nachdem _D F_ und _D E_ gegeben sind, von _E_ abwärts eine Linie gezeichnet werden, welche denselben Neigungswinkel hat, wie _D F_, so wird leztere verlängert bis _e_, wo sie die senkrechte Mittellinie trifft und von _e_ durch _E_ die Linie _E G_ gezogen. -- Oder kann von _F_ eine mit _D E_ parallele Linie nach links und die senkrechte Mittellinie von _E D f g_ gezogen, die von _y_ nach _H H_ gehende Senkrechte halbiert und hierauf durch eine Linie von _r_ durch diesen Halbierungspunkt der Punkt _G_ bestimmt werden. § 46. In Fig. 39 ist angenommen, dass die perspectivische Richtung und Länge der Linien _A B_ und _A C_, die Höhe _A a_ und die Breite _a c_ bestimmt seien, womit auch die Richtung der schrägen Linie _A c_ gegeben ist, in welcher die inneren Ecken der Stufen liegen müssen; die äusseren Ecken liegen in einer mit _A c_ parallel von _a_ ausgehenden Linie, deren Richtung gefunden wird, indem man _c d_ = _b c_ macht. Eine Linie von _d_ nach dem Fluchtpunkt von _A C_ ergibt _e_, eine Senkrechte von hier den Punkt _f_. Bildet man hierauf das Rechteck _A C h g_, so kann mittels seiner Diagonalen _m n_ als senkrechte Mittellinie gefunden werden; _C m n_ ist demnach = _A m n_ und die Ecken der ferneren Stufen können durch die von _a_ und _k_ nach dem Fluchtpunkt von _A C_ gezogenen Linien und die entsprechenden Senkrechten gefunden werden. (Übrigens kann dieselbe Aufgabe auch ohne Hilfe der zweiten schrägen Linie gelöst werden: man macht _a k_ und _k g_ = _A a_, zieht von diesen Punkten aus die mit _A C_ parallelen Linien und erhält die Punkte _d_ und _f_ durch die in _c_ und _e_ errichteten Senkrechten.) Die übrigen Linien der Figur sind teils senkrecht, teils sind sie parallel mit _A C_ oder mit _A B_. [Illustration: Fig. 39.] § 47. Ein Beispiel, wie die Richtung verkürzter schräger Parallellinien ohne Hilfe ihres Fluchtpunkts berechnet werden kann, ist auch in Fig. 31 enthalten, wo, um den Punkt _F_ zu finden, _B r_ und _C r_ gezogen und in _r_ eine Senkrechte errichtet wurde, welche auf der von _E_ ausgehenden Wagrechten den Punkt _F_ und hiemit die mit _D E_ parallele Richtung der Linie _G F_ ergibt. Auf dieselbe Weise kann in Fig. 40, wenn das Dreieck _A B D_ und die Wagrechte _A C_ gegeben sind, die Richtung der mit _A D_ parallelen Linie _C E_ berechnet werden, indem man von _C_ eine mit _A B_, von _d_ und _D_ zwei mit _A C_ parallele Linien zieht und in _e_ eine Senkrechte errichtet. Ebenso kann _F n_ gefunden werden durch die Linien _F m_ und _m n_. [Illustration: Fig. 40.] In Fig. 38 kann von _p_ aus eine Linie parallel mit _A B_ gezeichnet werden mittels der Linien _k x_, _p x_ und einer in _x_ errichteten Senkrechten. Oder kann man in _A_ und _p_ 2 Senkrechte errichten, _B b_ parallel mit _A C_, _b o_ parallel mit _A p_ ziehen und hierauf durch eine weitere mit _A C_ parallele Linie von _o_ aus den Punkt _n_ bestimmen. Soll von _D_ aus abwärts eine mit _A B_ parallele Linie gezeichnet werden, so kann durch die Verlängerung von _A B_, _A C_ und _D E_ ein Dreieck _A c d_ gebildet und _d h_ = _c d_ gemacht werden, wodurch _D h_ parallel mit _B A_ ist. Oder kann, nachdem das Dreieck _A B b_ gezeichnet ist, _D a_ = _A b_ gemacht und von _a_ eine mit _A C_ und _b B_ parallele Linie bis zu der Senkrechten _B k_ gezogen werden, wodurch _e D_ parallel mit _A B_ ist und von _D_ aus verlängert werden kann. Es könnte ferner, wenn _F z_ geometrisch = _y z_ ist, durch den Halbierungspunkt von _D z_ eine Linie von _i_ nach der verlängerten _y z_ gezogen werden. § 48. In Fig. 41 sei _A G a_ und _A o_ gegeben. Um die Richtung der parallel mit _A a_ von _B_, _i_ und _o_ ausgehenden Linien zu berechnen, ist durch den Halbierungspunkt der Senkrechten _n a_ eine mit _A G_ parallele Linie nach _f_ und von hier aus _f g_ als wagrechte Mittellinie des Daches gezogen, welche nun ähnlich wie die Mittellinien in Fig. 31 benüzt werden kann, um zwischen _A B_ und _a p_ beliebige mit _A a_ parallele Linien z. B. _B b_, _i k_ und _o p_ zu zeichnen: man zieht _a B_ und _A r b_, _b i_ und _B s k_ u. s. w. Die Richtung der Linie _C c_ ist auf die in § 45 Fig. 38 angegebene Weise berechnet: _d h_ ist = _n a_ gemacht und von _h_ eine Linie durch _C_ nach der verlängerten _m z_ gezogen. Der Punkt _F_ ergibt sich durch eine parallel mit _A G_ von _E_ nach der Verlängerung von _b B_ gezogenen Linie; eine Senkrechte von _F_ abwärts schneidet die von _c_ nach rechts gehende Wagrechte in _e_, womit _E e_ gegeben ist. [Illustration: Fig. 41.] Sind auf solche Weise einige Parallellinien gezeichnet, so kann die perspectivische Richtung weiterer zwischen ihnen liegender Linien auch ohne genaue Berechnung jeder einzelnen ohne Schwierigkeit bestimmt werden. Verschiedene Beispiele. Treppen, Dächer, Dachfenster, Turmhelme. § 49. Die Anwendung des vorangegangenen ist in Fig. 42--60 an weiteren Beispielen gezeigt. Der Gleichartigkeit des Gegenstands wegen befinden sich unter denselben auch solche, bei denen die im folgenden Abschnitt besprochene Form des verkürzten Quadrats als gegeben betrachtet werden muss. Für die Construction der Treppe Fig. 42 nehmen wir die Höhe und Breite der untersten Stufe, also die perspectivische Länge der Linien _B b_ und _b c_, sowie die Linie _A B_ als gegeben an. Da leztere eine unverkürzte Wagrechte ist, so muss der Augpunkt Fluchtpunkt der Linie _b c_ sein. Wird nun _b m_ = _B b_ gemacht, in _c_ eine Senkrechte errichtet und von _m_ eine Linie nach _P_ gezogen, so ist _c n_ die perspectivische Höhe der zweiten Stufe und es ist durch _b n_ die Richtung der schrägen Linie gegeben, in welcher die vorderen Ecken der folgenden Stufen liegen müssen. Hierauf wird auf der verlängerten _B m_ die Höhe _B b_ mit dem Zirkel so oft wiederholt, als nötig ist, um die gewünschte Zahl von Stufen zu erhalten und werden von den Teilungspunkten Linien nach _P_ gezogen. Die Punkte, in welchen leztere die Linie _b d_ schneiden, sind die vorderen Ecken der Stufen, die hinteren dem Punkte _c_ entsprechenden Ecken ergeben sich durch die von _o_, _p_ u. s. w. abwärts gezogenen Senkrechten. Auf der andern Seite schneiden sich _a P_ und die von _c_ nach links gezogene Wagrechte in _y_, eine Wagrechte von _n_ nach links und eine in _y_ errichtete Senkrechte schneiden sich in _z_ u. s. w. [Illustration: Fig. 42.] Um von _F_ aus die mit _a D_ und _b d_ parallele Linie des Geländers zu zeichnen, ist durch die Diagonalen eines Rechtecks _g h d D_ dessen wagrechte Mittellinie bestimmt, welche von der Linie _F d_ in _i_ geschnitten wird, worauf die von _h_ durch _i_ nach _D d_ gezogene Diagonale den Punkt _f_ und hiemit _F f_ als Parallele von _h d_ ergibt. § 50. Fig. 43 zeigt 2 häufige Formen von Dachfenstern. _m y_ und _n z_ sind parallel mit _A D_ zu zeichnen, _y z_, _o p_, _m n_ parallel mit _A C_; die Höhe _m o_ sowie die Länge _m y_ sind beliebig, vorausgesezt, dass _o y_ und _p z_ als nach _y_ und _z_ hin steigende Linien gezeichnet sind. [Illustration: Fig. 43.] Bei der zweiten Form ist _d f_ parallel mit _A D_; die Höhe des Giebels kann beispielsweise in _i_ oder in _c_ angenommen werden; _e f_, _i k_, _c b_ sind parallel mit _A B_; die Punkte _b_ oder _k_ liegen sodann da, wo die von _c_ oder _i_ parallel mit _A B_ gezogenen Wagrechten sich mit einer schrägen Linie schneiden, welche von _a_, der Mitte von _d h_, parallel mit _A D_ aufsteigt. Durch den Punkt _b_, in welchem die leztgenannte Linie und die Firstlinie des Hauptdaches sich schneiden, ist _c b_ als grösste Höhe gegeben, welche für die obere Wagrechte des Dachfensters angenommen werden darf, d. h. eine von seiner Giebelspize parallel mit _A B_ gezogene Wagrechte darf die von _a_ parallel mit _A D_ ausgehende Linie nicht jenseits des Punktes _b_, nicht oberhalb der Firstlinie _D b_ treffen, es wäre denn, dass eine entsprechende Fortsezung auf der andern Dachseite angenommen würde. § 51. In Fig. 44 seien _a b_ und _b c_ als zwei Seiten eines quadratischen Turmes gegeben und soll darüber ein Dach gezeichnet werden, dessen Spize über der Mitte des ganzen Turmes, d. h. seiner quadratischen Grundfläche liegt. Zieht man die mit _a b_ und _b c_ parallelen Linien _d c_ und _a d_, so muss die Spize in einer Senkrechten liegen, welche in dem Schnittpunkte der Diagonalen _a c_ und _b d_ errichtet wird; die Höhe der Spize ist beliebig. Bequemer wird in den meisten Fällen die Mitte des Ganzen auf die § 39 angegebene Weise gefunden: man zieht an beliebiger Stelle die mit _a b_ und _b c_ parallelen Linien _e f_ und _f g_ (oder benüzt statt derselben die Horizontlinie), um mittels der Diagonalen _c e_ und _a g_ den gewünschten Punkt zu erhalten, in welchem jene Senkrechte zu errichten ist. [Illustration: Fig. 44.] Häufig kann man sich auch damit begnügen, die 2 äusseren Senkrechten z. B. in Fig. 44 _e a_ und _g c_, nach oben zu verlängern und die Spize in die Mitte zwischen beide zu verlegen. Das Resultat stimmt zwar nicht immer vollständig mit dem der genauen Berechnung überein, doch ist die Abweichung eine so geringe, dass die richtige Wirkung nicht dadurch beeinträchtigt wird; vgl. Fig. 45. § 52. In Fig. 45 sind zuerst von _a_, _b_ und _c_ aus 3 Linien nach einem tiefer liegenden Punkte _o_ der senkrechten Mittellinie gezogen, hierauf an beliebiger Stelle die mit _a b_ und _b c_ parallelen Linien _k m_ und _m n_ und von den Punkten _k_, _m_ und _n_ 3 Linien nach der höher liegenden Spize _p_. [Illustration: Fig. 45.] Die Construction von Fig. 46 ist hienach leicht zu verstehen. In Fig. 47 sind von _a_, _b_ und _c_ aus zuerst 3 Linien nach dem höher in der Mittellinie liegenden Punkt _p_, hierauf die mit _a b_ und _b c_ parallelen _d e_ und _e f_, und nach dem tiefer liegenden Punkt _o_ die Linien _d o_, _e o_ und _f o_ gezogen. [Illustration: Fig. 46.] [Illustration: Fig. 47.] § 53. Bei der in Fig. 48 und 49 dargestellten Dachform liegen die Punkte _E_ und _F_ senkrecht über den Punkten _m_ und _n_, welche ihrerseits in der Mittellinie _a b_ des Rechtecks _A B C D_ liegen. _m a_ ist in Wirklichkeit = _n b_; denken wir uns die senkrecht über _A B_ und _C D_ stehenden Giebelwände _A B d_ und _D C f_ hinzugezeichnet, so wäre auch _E d_ = _F f_. Gewöhnlich haben die beiden schrägen Dreiecke (_A B E_ und _D C F_) denselben Neigungswinkel wie die anstossenden Breitseiten des Daches. In diesem Fall müssen die senkrecht unter _E_ und _F_ liegenden Punkte _m_ und _n_ Mittelpunkte zweier Quadrate sein, deren Seiten = _A B_ sind, so dass _m a_ = _A a_ wäre. Doch ist die Form auch dann eine richtige, wenn angenommen wird, dass der Neigungswinkel jener Flächen (_A B E_ und _A E F D_) ein verschiedener sei. Die Hauptsache ist, dass _E_ und _F_ von _d_ und _f_ oder _m_ und _n_ von _a_ und _b_ gleich weit entfernt sind, mit andern Worten, dass die beiden Dreiecke _A B E_ und _C D F_ die gleiche Neigung haben. Zu diesem Zweck bestimme man in Fig. 48, angenommen, dass _A B E_ und _A D_ gegeben seien, die perspectivische Mitte der Firstlinie in _h_ (mittels _A C_ und _B D_ oder _B z_ und _D y_) bilde das Rechteck _E h e c_ und ziehe _c F_ durch die Mitte von _h e_, so ist _F h_ perspectivisch = _E h_. Oder man verbinde (Fig. 49) den Halbierungspunkt _r_ der Linie _A D_ mit _h_, der wie oben gefundenen Mitte der Firstlinie, ziehe die Diagonale _E D_ und durch den Punkt, in welchem _E D_ und _r h_ sich schneiden, eine Linie von _A_ nach _F_. [Illustration: Fig. 48.] [Illustration: Fig. 49.] Oder auch man bestimme, nachdem _A B E_ und _A D_ (Fig. 49) gegeben sind, die perspectivische Mitte von _A B_ und _C D_, also die Punkte _a_ und _b_, ziehe von _a_ durch _E_ eine Linie nach der senkrechten Mittellinie des Ganzen (errichtet im Schnittpunkte der Diagonalen _B z_ und _D y_) und von _o_ eine Linie nach _b_, welche die Firstlinie in _F_ schneidet. § 54. Um das Dach Fig. 50 zu construieren, wird zuerst die einfache Dachform _C A a g h_ und an beliebiger Stelle die Wagrechte _e f_ parallel mit _A a_, sowie _e c_ parallel mit _A C_ gezeichnet. Die perspectivische Mitte von _A C_ ist _m_, eine Linie von hier durch den Schnittpunkt _i_ ergibt den Punkt _n_ als Mitte der Firstlinie. Die Lage des einen der beiden Punkte _D_ oder _d_ wird beliebig angenommen, die des zweiten durch die Diagonalen _D c_ und _e d_, wie in Fig. 49, § 53, gefunden. [Illustration: Fig. 50.] Häufig wird es auch genügen, bei Darstellung von Dachformen wie Fig. 48--50 zuerst die gewöhnliche Dachform mit senkrechten Giebelwänden oder die perspectivische Mitte der Firstlinie anzugeben und nach dem Ermessen des Auges den ferneren der beiden geometrisch gleich grossen Teile kleiner zu zeichnen, als den näheren, also z. B. in Fig. 50 dafür zu sorgen, dass _n d_ kleiner sei als _D n_, _d h_ kleiner als _g D_. § 55. Wenn in einem Dach von der Fig. 48--50 dargestellten Form Dachfenster wie in Fig. 43 gezeichnet werden sollen, so muss die schräge Mittellinie der betreffenden Seite gesucht werden. In Fig. 51 z. B. muss die Linie _e d_ perspectivisch parallel sein mit _c D_; wäre das Dachfenster nicht in der Mitte von _A B D_, so müsste eine mit _c D_ parallele Linie entsprechend der Linie _a b_ in Fig. 43 gezeichnet und sodann wie dort weiter verfahren werden. [Illustration: Fig. 51.] Auf der anstossenden Seite _A C E D_ müssen _a b_, _f g_ u. s. w. parallel sein mit der Mittellinie _m n_. In Fig. 53 wäre _f c_ am unteren, _c z_ am oberen Teil massgebend für die schrägen Linien eines Dachfensters. § 56. Fig. 52, ein Staffelgiebel, ist so construiert, dass zuerst die einfache Dachform _a b c g e_ und die parallel mit _a c_ von _f_ und _d_ ausgehenden Linien gezeichnet wurden (_d g_ kleiner als _f c_). Um die Höhe der einzelnen Absäze zu bestimmen, ist in _k_ eine über _a_ hinausreichende Senkrechte _k z_ errichtet und in die erforderliche Anzahl von gleichen Teilen geteilt. Durch die Teilungspunkte sind die Linien _m n_, _o p_ u. s. w. und nach dem Fluchtpunkt der andern Seite _m i_, _o h_ u. s. w. gezogen. Das Weitere ist aus den Constructionslinien der Fig. 52 leicht zu ersehen. [Illustration: Fig. 52.] § 57. Die Form eines Mansardendaches Fig. 53 ist stets eine solche, dass die 4 Seiten des unteren und ihrerseits diejenigen des oberen Teiles denselben Neigungswinkel haben. Es muss daher, wenn _A B_ und _A C_ gegeben sind, von _A C_ ein Teil _A f_ abgeschnitten werden, welcher perspectivisch = _A B_ ist, so dass die senkrechte Linie, in welcher die Punkte _k_ und _d_ liegen müssen, über der Mitte eines Quadrats (_A B p f_) oder über dem Schnittpunkt der Diagonalen _B m_ und _f n_ errichtet werden kann. Nachdem nun _A a_, _a b_, _B b_, _a d_ und _b d_ gezeichnet sind (vergl. § 52, Fig. 47), so werden die von _a_, _d_ und _k_ parallel mit _A C_ ausgehenden Linien gezogen; _i_ ergibt sich auf die § 53, Fig. 48 gezeigte Weise (nachdem _z_ als Mitte der Firstlinie bestimmt ist), _e_ durch eine von _i_ abwärts gezogene Senkrechte, _g_ durch eine Linie von _i_ nach _C_. [Illustration: Fig. 53.] § 58. Der Turmhelm Fig. 54 und 55 ist eine an Bauten des romanischen Stils häufige Form: die 4 Seiten des quadratischen Turms schliessen oben mit 4 Giebeln ab, von deren Spizen 4 Linien nach der Turmspize gehen und so mit den Giebellinien 4 rautenförmige Flächen bilden. Zunächst müssen die Giebelspizen in gleicher Höhe liegen; angenommen, dass in Fig. 54 _a b d_ und _a c_ gegeben seien, so können die senkrechten Ecklinien von _a_ und _b_ nach oben verlängert werden, bis sie eine parallel mit _a b_ durch _d_ gezogene Wagrechte treffen; eine Wagrechte von _g_ aus parallel mit _a c_ und eine Senkrechte über der perspectivischen Mitte von _a c_ ergeben sodann den Punkt _f_, eine gleichfalls mit _a c_ parallele Linie von _h_ und eine mit _a b_ parallele Linie von _f_ aus den Punkt _e_ (vergl. Fig. 56). [Illustration: Fig. 54.] [Illustration: Fig. 55.] In Fig. 55 ist die Stellung des Turmes eine solche, dass nur eine der oberen 4 Flächen und keine der Umrisslinien des dritten Giebelfeldes zu sehen ist. Die Höhe des zweiten Giebels ist hier dadurch gefunden, dass, nachdem _a c f_ und die Linie _a b_ gezeichnet waren, von _f_ eine mit _a b_ parallele Wagrechte bis zur senkrechten Mittellinie des ganzen Turmes, d. h. bis _o_ und von hier eine mit _a c_ parallele Linie bis zu der in der Mitte von _a b_ errichteten Senkrechten gezogen wurde, wodurch _d_ als Spize des rechtseitigen Giebels gegeben ist. [Illustration: Fig. 56.] So könnte auch in Fig. 54 statt der oben angewendeten Construction von _d_ eine mit _a c_ parallele Wagrechte nach der senkrechten Mittellinie, durch den so gewonnenen Punkt _o_ eine mit _a b_ parallele Linie und hierauf _b e_ perspectivisch parallel mit _a f_ gezogen werden (vergl. Fig. 56). Ferner muss, damit _a i_ eine gerade Linie, _a d i f_ eine Fläche sei, _a d_ und _a f_ = _d i_ und _f i_ sein; _a d f_ und _i d f_ sind in Wirklichkeit 2 einander gleiche Dreiecke, _o i_ muss daher = _k o_ sein. Oder kann zu demselben Zweck die senkrechte Mittellinie eines Giebelfeldes z. B. _m f_ benüzt werden: _f p_ wird = _m f_ gemacht und eine mit _a b_ parallele Linie von _p_ nach der senkrechten Mittellinie des ganzen Turmes gezogen. § 59. Soll ein viereckiges Türmchen an beliebiger Stelle auf ein Giebeldach gesezt werden, wie in Fig. 57, so geht die Construction am besten von der mit _a b_ parallelen Linie _c d_ aus, deren Länge nach Gutdünken bestimmt wird. Man errichtet über _c_ und _d_ 2 Senkrechte, bildet mit denselben ein Rechteck _m n o p_ und zieht aus _n_ durch den Halbierungspunkt von _m o_ eine Linie, welche in _f_ die verlängerte _o p_ trifft und damit die Breite der ganzen Seite angibt. Für die perspectivische Breite der anstossenden Seite _p g e c_ sind, wenn sie genau berechnet werden soll, die im folgenden Abschnitt enthaltenen Regeln über die Construction des Quadrats massgebend. [Illustration: Fig. 57.] In Fig. 58 ist ein ähnliches Türmchen auf die Mitte eines Giebeldaches gesezt. Ist wie hier die Grundfläche ein Quadrat, d. h. _a b_ = _b c_, so ist wie bei Fig. 46 zu verfahren, nachdem von _i_, der Mitte der Firstlinie, die Linien _i a_, _i b_ und _i c_ gezogen sind. Ist _a b_ länger als _b c_ oder umgekehrt, so schneide man von der Mitte der Firstlinie aus 2 perspectivisch gleich grosse Teile _i d_ und _i e_ entsprechend der gewünschten Grösse des oberen Türmchens ab, ziehe von _d_ und _e_ 2 schräge Linien parallel mit den Seitenlinien des Dachs abwärts und verfahre wie bei Fig. 57. [Illustration: Fig. 58.] In Fig. 59 ist zuerst der Turmaufsaz über _a b g h_ wie oben mittels der Linien _d a_, _d b_ und _d c_ construiert (vergl. Fig. 55, 56 und 57), die Punkte _f_ und _e_ ergeben sich sodann durch die senkrechten Mittellinien der beiden Seiten des Turmaufsazes. [Illustration: Fig. 59.] § 60. Fig. 60 ist zuerst geradlinig wie Fig. 47 construiert, wodurch die für die perspectivische Schweifung der Ecklinien wichtigen Punkte _n_, _m_ und _k_ gewonnen werden. [Illustration: Fig. 60.] In Fig. 61 ist zuerst _a b c d_ gezeichnet, sodann (vergl. Fig. 45) die Lage der Punkte _k m n_ bestimmt, von welchen die geschweiften Linien ausgehen, ferner die Lage der 3 Punkte, an welchen sie ihre stärkste Ausladung haben. Diese Punkte liegen ebenso wie _k m n_ in 2 mit _a b_ und _b c_ parallelen Linien und ergeben sich, je nachdem die Ausladung eine stärkere oder schwächere ist, durch Verlängerung der senkrechten Ecklinien, wie _x y z_ oder dadurch, dass von andern in gleicher Höhe liegenden Punkten der Linien _a d_, _b d_, _c d_, oder ihrer Verlängerung, z. B. von _e_, _f_ und _g_, 3 Senkrechte und zwischen diesen in entsprechender Höhe 2 mit _a b_ und _b c_ parallele Wagrechte wie _o h_ und _o i_ gezogen werden. [Illustration: Fig. 61.] § 61. In Fig. 62 ist schliesslich gezeigt, wie auf Grund der bisher angewandten Constructionslinien vorspringende Dächer zu zeichnen sind. [Illustration: Fig. 62.] Nachdem _A_ als vordere Ecke des Daches angenommen wurde, sind die mit _a b_, _b c_, _a c_ und _a t_[6] parallelen Linien _A B_, _B C_, _A C_ und _A D_ gezeichnet. _C d_ und _e f_ sind parallel mit _A D_, _m n_ und _o p_ mit _A C_. _z y_ ist geometrisch = _B b_, aber entfernter, muss also entsprechend kleiner sein als _B b_. Selbstverständlich wird die Mitte der Giebelseiten bezeichnet durch die von _b_ und _h_ abwärts gezogenen Senkrechten und dürfen hiezu nicht die Punkte _B_ und _g_ benüzt werden. [6]: Statt des bei _k_ und _D_ stehenden Buchstaben _b_ ist ein _t_ zu sezen. IV. Die perspectivischen Grössenverhältnisse. Unterscheidung der verschiedenen Aufgaben. § 62. Wir sind in § 22 ausgegangen von dem wichtigsten Gesez in Betreff der perspectivischen Grössenverhältnisse, wonach jeder Gegenstand im Verhältnis seiner Entfernung vom Auge kleiner zu werden scheint. Ferner wissen wir aus § 8, dass wir es nur mit der perspectivischen Grösse solcher Linien zu thun haben, deren geometrisches Grössenverhältnis zu andern Linien ein symmetrisches, regelmässiges und notwendiges ist. Es lassen sich in dieser Beziehung 3 Fälle unterscheiden: 1) Parallellinien, welche in Wirklichkeit gleich lang sind, aber verschiedene Entfernung vom Auge haben (in verschiedener Tiefe sich befinden), wie z. B. in Fig. 62 die senkrechten Umrisslinien der 3 grösseren Fenster. 2) Verkürzte Linien, auf welchen sich gleich grosse Masse wiederholen, oder welche nach bestimmten symmetrischen Verhältnissen geteilt sind, wie die Linie _i k_ Fig. 62, wenn die Fenster in Wirklichkeit gleiche Breite und gleiche Abstände haben. 3) Verkürzte Linien, welche zu einer nicht parallelen Linie in einem bestimmten Grössenverhältnisse stehen, wie die Seiten eines verkürzten Quadrats oder die Teile der Linie _i s_ Fig. 62, wenn die Fenster und Zwischenräume in Wirklichkeit auf beiden Seiten gleiche Breite haben. Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe. § 63. Die Berechnung der perspectivischen Länge paralleler Linien, welche geometrisch gleich gross sind, aber in ungleicher Tiefe liegen, geschieht nach dem § 1 angeführten Geseze, dass parallele Linien, welche zwischen 2 gleichfalls parallelen Linien liegen, gleich lang sind. Mehrfache Beispiele sind schon in den vorangegangenen Figuren enthalten, z. B. in Fig. 20 sind _i k_ und _c d_, _g h_ und _a b_ perspectivisch gleich lang (stellen Linien dar, welche geometrisch gleich lang sind), weil sie als unverkürzte Wagrechte unter sich parallel sind und die Linien _a P_ und _b P_, _c P_ und _d P_, zwischen welchen sie liegen, gleichfalls perspectivisch parallel sind, vergl. die gleich langen Linien _a i_, _b g_, _k e_ und _f h_, oder _a e_ und _c d_ in Fig. 36, ähnliche Linien in Fig. 40 und 41 und andere. Soll in Fig. 62 die Linie _r x_ massgebend sein für die Höhe der übrigen Fenster, so werden durch _r_ und _x_ 2 Linien parallel mit den wagrechten Linien dieser Seite bis zu der senkrechten Ecklinie gezogen und von lezterer aus auf der andern Seite parallel mit _a c_ fortgesezt, wodurch sämtliche zwischen diesen Parallelen liegende senkrechte perspectivisch gleich lang sind. § 64. In Fig. 63 sei die Aufgabe gestellt, die Höhe der Figur _a b_ auf die in derselben wagrechten Fläche liegenden Punkte _c_, _e_ und _g_ zu übertragen oder auf den leztgenannten Punkten Figuren von gleicher Höhe mit _a b_ zu zeichnen. Ziehen wir von _a_ durch _c_ eine Linie nach dem Horizont, und nach dem Punkte _x_, wo sie denselben trifft, eine zweite von _b_ aus, so sind alle senkrechten Linien, welche zwischen den 2 Parallellinien _a x_ und _b x_ liegen, perspectivisch gleich hoch. Eine Linie von _a_ durch _e_ oder von _g_ durch _a_ nach dem Horizont würde diesen in 2 weit ausserhalb der Zeichenfläche liegenden Punkten treffen. Man benüzt daher 2 von _a_ und _b_ nach einem beliebigen Punkt des Horizonts gezogene Linien, z. B. _a x_ und _b x_, zieht von _e_ eine unverkürzte Wagrechte nach _i_ und errichtet dort die Senkrechte _i k_, welche somit in gleicher Tiefe mit _e_ steht und mittels einer unverkürzten Wagrechten von _k_ aus auf die gewünschte Stelle übertragen werden kann. Da eine von _g_ aus nach der verlängerten _x a_ gezogene Wagrechte die leztere nicht mehr innerhalb der Zeichenfläche erreichen würde, so ist ein Punkt _y_ wie oben benüzt, von _g_ eine Wagrechte nach der verlängerten _y a_, d. h. nach _m_ gezogen, _m n_ = _a b_ gemacht und ist somit auch _g h_ = _a b_. [Illustration: Fig. 63.] Liegt der Horizont in gleicher Höhe mit dem oberen Ende einer senkrechten Linie, z. B. in der Scheitelhöhe einer menschlichen Figur, so ist die Höhe aller gleich grossen senkrechten Linien oder anderer Figuren, welche in derselben wagrechten Fläche stehen, durch die Horizontlinie gegeben, vgl. Fig. 64. [Illustration: Fig. 64.] § 65. In Fig. 65 sei _A B_ gegeben und sollen 2 weitere Figuren in _f_ und _g_, d. h. in 2 Punkten gezeichnet werden, welche in gleicher Höhe und gleicher Tiefe mit den Punkten _a_ und _e_ liegen. Zu diesem Zweck sind die durch _a_ und _e_ gehenden Senkrechten verlängert bis zu der wagrechten Fläche, auf welcher _A B_ steht, also bis _o_ und _p_, und ist auf die oben beschriebene Weise _o c_ = _A B_ gemacht. Die Höhe _o c_ kann nun mit dem Zirkel nach _a d_ und von hier mittels einer Wagrechten nach _f k_ übertragen werden. _e p_ ist = _o c_ = _e b_, somit ist auch _g h_ = _A B_. [Illustration: Fig. 65.] § 66. In Fig. 66 ist angenommen, dass _A B_ als Höhe einer in _A_ stehenden Figur gegeben sei und der Punkt _C_, in welchem eine zweite Figur stehen soll, um 3 Stufen tiefer liege, als die obere Fläche. Man errichte eine Senkrechte in _g_, mache _i g_ = 3 mal _g e_, d. h. = _a g_, und _i p_ = _a b_, d. h. = _A B_, ziehe _i P_ und _p P_, eine Wagrechte von _C_ nach _m_ und errichte eine Senkrechte in _m_ bis _p P_, so ist _m n_ und folglich auch _C D_ = _A B_. [Illustration: Fig. 66.] Wäre die Höhe _A B_ auf eine der beiden andern Stufen oder auf irgend einen Punkt der Fläche, in welcher _g_ liegt, zu übertragen, so würde man bei _b d_, _d f_ und _f h_ = _g e_, _e c_ und _c a_ machen, so dass _g h_, _e f_ und _c d_ je = _a b_ = _A B_ wären und könnte hierauf jede dieser Senkrechten auf einen beliebigen Punkt der Fläche, in welcher ihr unteres Ende liegen soll, wie oben übertragen werden. § 67. In Fig. 67 ist die mit _a b_ gleiche Höhe einer in _c_ stehenden Figur berechnet, indem von _c_ abwärts eine mit _d f_ und _g h_ parallele schräge Linie bis _i_, d. h. bis zu der wagrechten Ebene, in welcher _a_ liegt, gezogen, die Höhe _a b_ nach _i k_ und hierauf mittels der weiteren schrägen Parallellinien _k e_ nach _c_ übertragen wurde. In einem derartigen Falle ist vorauszusezen, dass der Fluchtpunkt oder das Massdreieck einer in der betreffenden schrägen Fläche liegenden schrägen Linie, wie hier _g m h_, bekannt sei. Ein ähnliches Beispiel zeigt Fig. 35: Die Höhe _g i_ ist zuerst mittels _g n_ und _i n_ nach _f_ übertragen, wo die wagrechte Fläche beginnt, in welcher eine zweite Figur stehen soll. Die Höhe der lezteren ergibt sich sodann durch _f P_ und _e P_. [Illustration: Fig. 67.] Die perspectivische Grösse von Figuren oder irgend welchen Linien, welche auf unregelmässigem Terrain in verschiedener Tiefe sich wiederholen, kann nicht genau berechnet werden. § 68. Wie auf dieselbe oder ähnliche Weise ~wagrechte~ Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe zu zeichnen sind, ist in Fig. 68--70 gezeigt. Es sei die Aufgabe gestellt, 2 Rechtecke von gleicher Grösse und in gleicher Stellung wie _A B C D_, Fig. 68, zu zeichnen, so, dass die linke vordere Ecke des einen in _E_, die des andern in _e_ liegt. Zieht man von _E_ eine unverkürzte Wagrechte nach _r_, so ist _r s_ = _A B_ und kann mit dem Zirkel von _E_ nach _F_ übertragen werden. Die Richtung der verkürzten Seiten ist durch _P_ gegeben, ihre Länge durch eine Linie von _E_ nach _z_, dem Fluchtpunkt der Diagonale _A C_ und folglich auch der mit _A C_ parallelen _E G_. Ebenso kann _e f_ = _a b_ gemacht und die Länge _f g_ durch die Diagonale _e g_ bestimmt werden. [Illustration: Fig. 68.] Wären die Fluchtpunkte beider Diagonalen des gegebenen Rechtecks _A B C D_ unzugänglich, so könnten _A B_, _E F_ und _e f_ halbiert werden, um _y_ als Fluchtpunkt von _o C_ wie oben _z_ behufs Berechnung der Länge _F G_ und _f g_ zu benüzen. _e h_ könnte auch = _F G_ gemacht werden mittels einer von _F_ durch _e_ nach dem Horizont und einer zweiten von _G_ nach _y_ gezogenen Linie. Sollte auf diesem Wege die Länge _E H_ = _B C_ bestimmt werden, so müsste, da eine Linie von _B_ durch _E_ den Horizont ausserhalb der Zeichnung trifft, eine näher bei _E_ liegende Linie, z. B. _m n_ = _B C_ gezeichnet werden, um _m E y_ und _n H y_ ziehen zu können. § 69. In Fig. 69 ist von _a_ aus ein Rechteck = _E F G H_ gezeichnet, indem von _E_ eine Linie durch _a_ nach dem Horizont gezogen und hierauf die Lage von _b_, _c_ und _d_ durch die Linien _F P_, _G P_, _H P_ und die nach den betreffenden Fluchtpunkten gezogenen _a b_, _b c_, _a d_ bestimmt wurde. Wäre statt _a_ der Punkt _A_ als vordere Ecke des zweiten Rechtecks gegeben, welcher in gleicher Tiefe mit _E_ liegt, so könnte man von _E_, _F_, _G_ und _H_ unverkürzte Wagrechte nach links ziehen, in welchen auch die Punkte _B_, _C_ und _D_ liegen müssen und hierauf die Lage der lezteren ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte dadurch näher bestimmen, dass man nach einem beliebigen Punkt des Horizonts, z. B. nach _P_, Linien von _E_, _F_, _G_, _H_ und _A_ zieht, und hierauf _f g_ = _i k_, _f C_ = _i G_, _f e_ = _i h_ macht u. s. w. Ebenso ist _m n_ = _x y_, _n o_ = _y a_ u. s. w. [Illustration: Fig. 69.] Wäre _A B C D_ und der Punkt _a_ gegeben, somit der Fluchtpunkt einer von _A_ durch _a_ gezogenen Linie unzugänglich, so könnte auf die zulezt angegebene Weise das erstere Rechteck leicht soweit als nötig zur Seite gerückt werden, wie oben die Linie _B C_, Fig. 68 nach _m n_. § 70. Aus dem Vorangegangenen ergibt sich ein weiteres in vielen Fällen bequemes Mittel, die Richtung verkürzter Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist, zu berechnen. Wenn in Fig. 70 _E_ die vordere Ecke eines Rechtecks = _A B C D_ sein soll und wie oben eine Wagrechte durch _A_ sowie die Linien _A E z_, _B z_, _C z_ und _D z_ gezogen sind, so bilde man mit einer aus einem beliebigen Punkt des Horizonts z. B. aus _y_ durch _B_ gezogenen Linie ein Dreieck _a c B_ und ziehe _c z_. _b d_ ist nun = _a c_, eine Linie von _d_ nach _y_ macht _b F_ = _a B_, somit sind die Dreiecke _a c B_ und _b d F_ oder _A a B_ und _E b F_ einander gleich und ist _E F_ perspectivisch gleich gross und parallel mit _A B_. Die Lage der Ecke _G_ ist durch _C z_ und die Diagonale _E y_ gegeben, könnte aber gleichfalls dadurch berechnet werden, dass auf die angegebene Weise _F h g_ = _B f e_ gemacht und eine unverkürzte Wagrechte von _h_ nach _G_ gezogen würde. Um _K_ zu erhalten, ist schliesslich _D m_ gezogen, durch _m z_ _G n_ = _C m_ gemacht, und durch eine Wagrechte von _n_ nach _D z_ der Punkt _K_ bestimmt. [Illustration: Fig. 70.] Da sowohl Richtung als Länge einer schrägen Linie durch die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks gegeben ist, so gilt das Gesagte auch für verkürzte gleich grosse ~schräge~ Parallellinien in verschiedener Tiefe. Teilung einer verkürzten Linie nach bestimmten Verhältnissen. § 71. Die einfachste und häufigste Art einer solchen Teilung ist die Halbierung mittels der Diagonalen eines Rechtecks, dessen eine Seite die zu halbierende Linie bildet. Die vorangehenden Figuren, z. B. 38--41, bieten hievon mehrfache Beispiele. Ebenso von der Verdopplung einer Linie: in Fig. 48 z. B. ist, nachdem _E h_ gegeben, die zweite Hälfte _h F_ = _E h_ gemacht mittels eines Rechtecks _E h e c_ und einer Linie aus _c_ durch die Mitte von _e h_ nach _F_. [Illustration: Fig. 71.] Soll in Fig. 71 die Länge _e f_ auf der Fortsezung dieser Linie wiederholt werden, so bilde man mit _e f_ ein beliebiges Rechteck _e f b a_, ziehe von _a_ eine Linie durch die Mitte von _b f_ nach _g_, von _b_ durch die Mitte von _c g_ nach _h_ u. s. w. Auf dieselbe Weise ist in Fig. 72 die Länge _a b_ nach _c_ u. s. w. übertragen. In Fig. 71 ergibt sich _f n_ als Hälfte von _e f_, wenn _m_ (vom Schnittpunkt der Diagonalen _a f_ und _e b_ aus) als Hälfte von _a b_ bestimmt und von da eine Linie durch _d_ gezogen wird. [Illustration: Fig. 72.] In der Mitte des Rechtecks _a b c d_ Fig. 73 kann ein Fenster gezeichnet werden, indem die senkrechte Mittellinie _e f_ gezogen, _m n o p_ als nähere Hälfte angenommen und _n z_ durch die Mitte von _m p_ gezogen wird, vgl. die beigefügte geometrische Figur. [Illustration: Fig. 73.] Soll auf der Linie _B P_ Fig. 68 von _b_ aus ein Stück = _B C_ abgeschnitten werden, so bilde man ein Rechteck _C b a D_, ziehe _D b_ und _C a_ und durch _i_ eine Linie von _A_ nach _c_. § 72. Die Teilung einer verkürzten Linie in eine grössere Anzahl von Teilen, welche in einem bestimmten geometrischen Verhältnis zu einander stehen, geschieht gewöhnlich zufolge dem Geseze, dass in einem Dreieck Linien, welche parallel mit einer Seite zwischen den beiden andern gezogen werden, auf lezteren Teile von gleichem Verhältnis ergeben. [Illustration: Fig. 74.] In Fig. 74 ist z. B. die Linie _a b_ so geteilt, dass _a d_ und _e f_ gleich gross und je die Hälfte von _d e_ und _f b_ sind. Zieht man nun von _f_, _e_ und _d_ Linien parallel mit _b c_ nach _a c_, so erhält man auf lezterer Linie Teile von demselben Verhältnis. Ist die Aufgabe gestellt, die Linie _D C_ Fig. 75 so zu teilen, dass die Fenster je halb so gross als die Zwischenräume sein sollen, so wird durch _D_ eine unverkürzte Wagrechte gezogen, mit dem Zirkel, nachdem _D a_ als erster Teil beliebig angenommen ist, _a b_ = 2 mal _D a_, _b c_ = _D a_ u. s. w. gemacht und eine Linie von _f_, dem Endpunkt des letzten Teilabschnitts, durch _C_ nach dem Horizont gezogen, worauf die Linien _a p_, _b p_, _c p_ u. s. w. auf _D C_ die gewünschten Verhältnisse ergeben. [Illustration: Fig. 75.] Statt auf _D f_ könnten die Teile auch auf einer höher gelegenen Linie, z. B. von _m_ aus in der Weise angetragen werden, dass eine Linie von _m_ durch _D_ nach dem Horizont, eine zweite von _p_ durch _C_ nach _n_ gezogen und _m n_ mit dem Zirkel nach den gewünschten Verhältnissen geteilt würde. Auch in Fig. 72 könnte auf diese Weise die perspectivische Weite der Zwischenräume berechnet werden, wie auf der Linie _a d_ angedeutet ist. Dasselbe Verfahren ist in Fig. 42 angewandt, um die verkürzte schräge Linie _b d_ in eine Anzahl gleicher Teile zu teilen und so die perspectivische Höhe der Stufen zu bemessen, mit dem Unterschied, dass die senkrechte Linie _b e_ hier die Stelle der unverkürzten Wagrechten in Fig. 75 vertritt. § 73. Ein anderes Verfahren ist das folgende: Wenn in Fig. 73 das Rechteck _a b c d_ gegeben ist und die Breite eines in der Mitte davon zu zeichnenden Fensters 1/5 der Linie _a d_ betragen soll, so wird _a b_ in 5 gleiche Teile geteilt und die Diagonale _a c_ oder _b d_ gezogen. Zieht man nun von _g_ und _h_ Linien parallel mit _a d_ und _b c_, so erhält man da, wo dieselben die Diagonalen schneiden, die Punkte, welche die Breite des Fensters bestimmen, vergl. die geometrische Figur. Auch die perspectivische Breite der Fenster und der Zwischenräume in Fig. 75 könnte dadurch bestimmt werden, dass _A D_ mit dem Zirkel in 9 gleiche Teile geteilt würde (vorausgesezt, dass das oben angegebene Verhältnis massgebend sein soll). Die Punkte, in welchen die von 1, 3, 4, 6 und 7 aus gezogenen Parallelen die Diagonale _D B_ schneiden, ergeben, wie die Figur zeigt, dasselbe Verhältnis wie die obige Berechnung. Perspectivisches Grössenverhältnis nicht paralleler Linien. § 74. Wenn wir uns von unserem Auge eine Linie nach dem Augpunkt und 2 andere nach den beiden Diagonalpunkten (§ 18) gezogen denken, so entstehen 2 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Denn eine Linie vom Auge nach dem Augpunkt steht zum Horizont in einem rechten Winkel und die Entfernung der Diagonalpunkte vom Augpunkt ist gleich der Entfernung des Auges vom Augpunkt. Wenn in Fig. 76 _D_ unser Auge, _P_ der Augpunkt ist, so sind _Dp_ und _Dg_ Diagonalpunkte. [Illustration: Fig. 76.] ~Die beiden Linien vom Auge nach den Diagonalpunkten~ -- _D Dp_ und _D Dg_ -- ~stehen zum Horizont in einem halben rechten Winkel~, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, vergl. _a b c d_. Steht eine Linie unseres Gegenstands in einem halben rechten Winkel zu einer unverkürzten Wagrechten, so steht sie auch zum Horizont in einem halben rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer Linie von unserem Auge nach einem der beiden Diagonalpunkte und dieser muss ihr Fluchtpunkt sein. ~Die Diagonalpunkte sind also die Fluchtpunkte aller wagrechten Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten in einem halben rechten Winkel stehen.~ Umgekehrt, ~jede Linie des Bildes, deren Fluchtpunkt ein Diagonalpunkt ist, stellt eine Linie dar, welche zum Horizont und zu den unverkürzten Wagrechten derselben Zeichnung in einem halben rechten Winkel steht~. Ist also in Fig. 77 die Distanz = 2 mal _A P_ = _P Dg_, so ist _Dg_ ein Diagonalpunkt und stellt _A C_ eine Linie dar, welche in einem halben rechten Winkel zu _A B_ steht; die Linie _B C_, welche ihren Fluchtpunkt im Augpunkt hat, ist demnach eine rechtwinklig zu _A B_ stehende Linie und _A B C_ ist die perspectivische Form eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks = _a b c_ Fig. 76. _B C_ Fig. 77 ist = _A B_, wie in Fig. 76 _b c_ = _a b_ ist. [Illustration: Fig. 77.] § 75. Demgemäss kann die Länge einer unverkürzten Wagrechten auf eine rechtwinklig zu ihr stehende, d. h. nach dem Augpunkt gehende Wagrechte übertragen werden, indem entweder von einem Endpunkt der gegebenen unverkürzten Wagrechten eine Linie nach einem der beiden Diagonalpunkte gezogen wird, welche die nach dem Augpunkt gehende Linie schneidet: _B C_ Fig. 77 wird = _A B_ gemacht durch eine Linie von _A_ nach _Dg_, welche die Linie _B P_ in _C_ schneidet; oder indem man eine Linie von einem Diagonalpunkte durch einen Endpunkt der gegebenen unverkürzten nach der verkürzten Wagrechten zieht: so wird _E A_ = _C E_ mittels einer Linie von _Dg_ durch _C_ nach _A_. _A B C E_ ist somit die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats. Ebenso kann die Länge einer nach dem Augpunkt gehenden Linie auf eine anstossende unverkürzte Wagrechte übertragen werden: durch _Dg C A_ wird _A B_ = _B C_, durch _A C Dg_ wird _C E_ = _A E_ gemacht. § 76. Ist in Fig. 77 die Distanz = 2 mal _P A_, so ist _D_/2 die Hälfte, _D_/3 ein Drittel, _D_/4 ein Viertel der Distanz. Ebenso ist _B a_ die Hälfte, _B b_ oder _B e_ ein Drittel und _B c_ ein Viertel von _A B_. Ziehen wir, statt von _A_ nach _Dg_, eine Linie von _a_ nach _D_/2 oder von _b_ nach _D_/3 oder von _c_ nach _D_/4, so wird von der aus _B_ nach _P_ gehenden Linie dieselbe Länge _B C_ abgeschnitten; gehen wir von der verkürzten Linie _B C_ aus, so erhalten wir durch eine aus _D_/2, _D_/3 oder _D_/4 durch _C_ gezogene Linie auf der durch _B_ gehenden Wagrechten die Hälfte, ein Drittel oder ein Viertel von _B C_. Da ein Diagonalpunkt stets ausserhalb der Zeichnung liegt, so bedarf man eines Ersazmittels, welches durch jene Teilpunkte gegeben ist: soll _B C_ = _A B_ gemacht werden, so zieht man eine Linie von _a_ nach _D_/2, von _b_ nach _D_/3 oder von _c_ nach _D_/4, soll _A B_ = _B C_ gemacht werden, so erhält man durch eine Linie von _D_/2 nach _a_, _D_/3 nach _b_ u. s. w. zunächst die Hälfte, ein Drittel oder Viertel von _A B_ und kann hienach mit dem Zirkel die ganze Länge _A B_ leicht ergänzt werden. Statt der Linie _b D_/3 könnte auch eine Linie von _e_ nach dem rechts vom Augpunkt liegenden Drittel der Distanz gezogen werden, sowie man statt der rechtsseitigen Punkte _D_/2 und _D_/4 die entsprechenden Teilpunkte links vom Augpunkt benüzen und mittels derselben rechts von _B_ die Hälfte oder ein Viertel von _A B_ abschneiden könnte. § 77. Hienach ist es leicht, auch einer nach einem Distanzpunkt gehenden Linie jedes beliebige Grössenverhältnis zu einer anstossenden unverkürzten Wagrechten zu geben oder umgekehrt. Wird z. B. in Fig. 77 die Senkrechte _B F_ = _A B_ gemacht, so ist das Dreieck _A B F_ = _A B C_ (da auch _B C_ = _A B_ ist); _A C_ ist = _A F_ = _A g_; _A f_ ist = _A d_ = _A n_, _A h_ = _A i_. Es kann also ein beliebiger Teil der Linie _A z_ mit dem Zirkel auf _A F_ oder ihre Verlängerung und von hier mittels einer Senkrechten und einer nach dem Augpunkt gehenden Linie auf die Linie _A Dg_ übertragen werden. Soll die Länge der nach einem Distanzpunkt gehenden Linie _A C_ auf die durch _A_ gezogene Wagrechte übertragen werden, so zieht man eine Linie von _P_ durch _C_ nach _B_, eine Senkrechte _B F_ = _A B_ und macht mit dem Zirkel _A g_ = _A F_ = _A C_. Das unverkürzte Dreieck kann natürlich ebensowohl oberhalb als unterhalb der Linie _A B_ gebildet werden. Um z. B. _A o_ auf _A B_ zu übertragen, kann _P o g_ gezogen, die Senkrechte _g p_ = _A g_ errichtet und _A z_ = _A p_ gemacht werden. [Illustration: Fig. 78.] Oder sei in Fig. 78 _A B_ die zuerst gegebene Linie, _D_/2 die Hälfte, _D_/3 ein Drittel der Distanz. _B e_ ist die Hälfte, _B d_ ein Drittel von _A B_; somit wird _B C_ = _A B_ mittels einer Linie von _D_/2 durch _e_, oder von _D_/3 durch _d_. _B f_ ist = _A B_, also ist _A B f_ = _A B C_; _A f_ ist = _A C_; _A h_ ist = _A B_, also erhält man auf _A C_ den Teil _A i_ = _A B_, indem man eine Senkrechte von _h_ nach _A B_, und durch den Punkt, in welchem sie _A B_ trifft, eine Linie von _P_ aus zieht. § 78. Mit Hilfe desselben Verfahrens kann nun das perspectivische Grössenverhältnis jeder verkürzten wagrechten Linie zu einer andern bemessen werden. Nehmen wir an, dass in Fig. 79 _D_/2 als Hälfte der Distanz, die perspectivische Richtung der (nicht nach einem Diagonalpunkt gehenden) Linien _A B_ und _A C_, sowie die perspectivische Länge _A B_ gegeben und die Aufgabe gestellt sei, leztere auf _A C_ zu übertragen, so wird durch _A_ eine unverkürzte Wagrechte und nach dieser aus dem Augpunkt eine Linie durch _B_ gezogen. _B b_ steht somit rechtwinklig zu _A b_; da _D_/2 die Hälfte der Distanz ist, so ist _b f_ = die Hälfte von _B b_; _b c_ ist = 2 mal _b f_, also = _B b_, folglich ist _A c_ = _A B_. Hierauf ist durch einen beliebigen Punkt _o_ der zweiten Linie gleichfalls eine Linie aus _P_ und aus _D_/2 gezogen und hiedurch gefunden, dass _o n_ = _m n_ (= 2 mal _n p_) ist; _A d_ wird nun = _A c_ gemacht und schliesslich eine Senkrechte von _d_ nach _a_ und eine Linie von hier nach _P_ gezogen, wodurch sich die Länge _A C_ = _A B_ ergibt. [Illustration: Fig. 79.] Wäre _A F_ statt _A B_ als Mass gegeben, so dass eine von _D_/2 durch _F_ gezogene Linie die durch _A_ gehende Wagrechte nicht mehr innerhalb der Zeichenfläche treffen würde, so können 2 Senkrechte _A g_ und _F h_ bis zum Horizont und die Diagonalen _F g_ und _A h_ gezogen und kann von ihrem Schnittpunkt aus durch eine Senkrechte der perspectivische Halbierungspunkt von _A F_ gefunden werden, um auf dem angegebenen Wege zunächst die Hälfte von _A F_ auf die Linie _A a_ zu bringen. Ist angenommen, dass die beiden verkürzten Linien einen rechten Winkel darstellen, so wird auf kürzerem Wege _A C_ = _A B_ gemacht, indem mit dem Winkel (Fig. 9) _A d_ = _A c_ rechtwinklig zu _A c_ gezeichnet und hierauf _d a_ und _a P_ gezogen wird. [Illustration: Fig. 80.] In Fig. 80 sind die Wagrechten _A B_ und _A C_, deren Richtung von _A_ aus gegeben ist, = der in gleicher Fläche liegenden _E F_ gemacht. Zu diesem Zweck ist zunächst _A G_ = _E F_ gemacht mittels einer Linie von _F_ durch _A_ nach _z_ und einer zweiten von _z_ nach _E_ und ist hierauf von _P_ eine Linie nach einem beliebigen Punkte _b_ der Linie _A B_ gezogen. _D_/2 sei die Hälfte der Distanz; also ist _a c_ = 2 mal _a n_, _a b_ = 2 mal _a m_, das wagrechte Dreieck _A a c_ ist somit = dem senkrechten _A a e_, _A a b_ ist = _A a g_ (_a e_ = 2 mal _a n_, _a g_ = 2 mal _a m_). Nachdem nun _A f_ und _A h_ = _A G_ gemacht sind, werden die Senkrechten _f m_ und _h i_ gezogen und ergeben die von _P_ nach _m_ und durch _i_ nach _B_ gezogenen Linien die Länge _A C_ und _A B_ = _A G_ = _E F_. [Illustration: Fig. 81.] Fig. 81 zeigt die Anwendung des Vorangegangenen auf eine geöffnete Thüre. Es ist angenommen, dass die Länge _A B_ und die Richtung _A D_ gegeben, die Richtung _D E_ beliebig und die Breite der Thüre = _A C_ sein soll. In beliebiger Richtung ist aus _P_ nach der durch _A_ gehenden Wagrechten die Linie _a b_ gezogen, welche, wenn _D_/3 ein Drittel der Distanz darstellt, = 3 mal _b c_, also = _b d_ ist; _A e_ ist = _A C_, somit ist auch _A D_ = _A C_. Nun ist eine Wagrechte durch _D_ gezogen und in gleicher Weise zuerst an beliebiger Stelle ein Dreieck _D m i_ = _D g i_ construiert (_i m_ = 3 mal _i h_), um sodann _D n_ = _D F_, _D E_ = _D n_ zu machen; _D F_ ist = _A C_, somit ist _E D_ ebenfalls = _A C_. § 79. Kann die Länge einer verkürzten auf eine unverkürzte Wagrechte übertragen werden und umgekehrt, so ist damit auch das Mittel gegeben, eine bestimmte Grösse von einer ~Senkrechten~ oder einer ~unverkürzten schrägen~ Linie auf eine verkürzte Wagrechte zu übertragen und umgekehrt, vgl. Fig. 81, wo die Linien _A D_ und _E D_ = der Senkrechten _A C_ gemacht wurden, oder Fig. 78, wo _A C_ = der unverkürzten schrägen Linie _A f_ und = der Senkrechten _A g_ ist. [Illustration: Fig. 82.] Die Berechnung der perspectivischen Länge einer ~verkürzten schrägen~ Linie ist in Fig. 82 und 83 gezeigt. In beiden Beispielen ist die Richtung der Linien _c e_ und _b c_, sowie die Länge _b c_ als gegeben angenommen und soll _c e_ = _b c_ gemacht werden. Es ist zunächst die Länge _b c_ auf die durch _b_ gehende Wagrechte zu übertragen. In Fig. 82 geht _b c_ nach dem Augpunkt, folglich ist _b g_ die Hälfte von _b c_. Die von _c_ ausgehende schräge Linie ist bis zu einer in _b_ errichteten Senkrechten verlängert, _b i_ ist = 2 mal _b g_, d. h. = _b c_, somit ist das Dreieck _b i h_ = _b h c_; _i m_ ist = _b i_ = _b c_; zieht man eine unverkürzte Wagrechte von _m_ nach _n_ und von _n_ eine mit _b c_ parallele Linie nach _P_, so ist _c e_ = _i m_ = _b c_. Eine Senkrechte von _e_ nach _o_, eine Wagrechte von _o_ nach _k_ und eine Senkrechte von _k_ nach _f_ ergeben _f d_ als die mit _c e_ parallele Seite. [Illustration: Fig. 83.] In Fig. 83 ist zuerst eine Linie von _P_ durch _c_ nach _o_ gezogen; _c o_ ist = 2 mal _o g_ = _x z_, _x y_ ist = _o b_; folglich ist das Dreieck _b o c_ = _x y z_ und _b c_ ist = _y z_ = _b i_, das Dreieck _b i h_ ist = _b h c_ u. s. w. Ist statt _c e_ die Richtung der Linie _c k_ gegeben und soll auf leztere die Länge _c b_ übertragen werden, so kann _c p_ = _c b_ gemacht (vgl. Fig. 68) und links von _p s_ ein unverkürztes Dreieck = _c p s_ gebildet werden; oder kann, wenn der Raum dies nicht gestattet, _s h_ parallel mit _b p_ gezogen, der Punkt _n_ wie oben bestimmt und von hier aus mittels _n k_ die schräge Linie _c k_ = _b c_ gemacht werden. Eine andere Lösung der Aufgabe wäre die Construction eines Halbkreises über _b p_, indem alle von diesem nach _c_ gezogenen Linien = _b c_ sein würden. Das Quadrat in gerader Stellung. § 80. Die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats in gerader Stellung ist gegeben durch den Augpunkt, welcher die Richtung der beiden verkürzten Seiten bestimmt (§ 32) und durch die Diagonalpunkte, welche Fluchtpunkte der beiden Diagonalen sind und hiemit das perspectivische Grössenverhältnis der Seiten zu einander angeben (§ 74); die Ausführung ist aus § 74--75 und aus Fig. 77--78 ersichtlich. Auch in diesem Fall kommt es hauptsächlich darauf an, dass die Entfernung des betreffenden Diagonalpunkts vom Auge, welche gleichbedeutend ist mit der Distanz, nicht zu klein angenommen werde (§ 34). Die Folge wäre, dass die verkürzten Seiten zu lang erscheinen würden im Verhältnis zu den unverkürzten. _E F B D_ Fig. 84 kann ebensowohl ein Quadrat darstellen, als _E F G H_; der Unterschied ist nur, dass die leztere Form einen näheren Standpunkt voraussezt als die erstere. Sobald wir aber die Linie _G H_ näher nach dem Horizont hin rücken, z. B. nach _m n_, so erscheinen die beiden verkürzten Seiten länger als die unverkürzten. Denn _P D_/2 ist = _P F_ und 2 mal _P F_ ist in diesem Fall die kleinste Distanz, welche angenommen werden kann. [Illustration: Fig. 84.] ~Es ist daher im allgemeinen darauf zu achten, dass bei der besprochenen Stellung des Quadrats der Punkt, in welchem eine Linie von der Mitte der unverkürzten Vorderseite durch eine gegenüberliegende Ecke nach dem Horizont~ (_A G_ oder _A H_, Fig. 84) ~diesen trifft, wenigstens ebenso weit vom Augpunkt entfernt sein muss, als dieser von der entferntesten Ecke des Bildes.~ Das Quadrat in schräger Stellung. § 81. Ist die Stellung des Quadrats eine solche, dass die eine Diagonale eine unverkürzte Wagrechte ist, so steht die andere rechtwinklig zum Horizont, hat also ihren Fluchtpunkt im Augpunkt und die Seiten haben dieselbe Stellung, welche im vorhergehenden Fall die Diagonalen hatten, ihre Fluchtpunkte sind die beiden Diagonalpunkte, s. Fig. 77. Ist _A D_ in Fig. 84 als erste Seite eines solchen Quadrats gezeichnet, also angenommen, dass der Fluchtpunkt von _A D_ ein Diagonalpunkt sei, so ergibt sich _B_ dadurch, dass eine unverkürzte Wagrechte von _D_ nach rechts, eine Linie von _A_ nach _P_ gezogen und hierauf _k B_ = _D k_ gemacht wird, der Punkt _C_ durch _P D E_, _A E_ und eine Linie aus _E_ durch die Mitte von _D k_ nach _A P_. Oder man bildet das einschliessende Quadrat in gerader Stellung und bestimmt in diesem die Halbierungspunkte der Seiten. § 82. Wie die geometrisch gezeichneten Quadrate _a b c d_ und _e f g h_, Fig. 84 zeigen, entstehen, wenn durch Verbindung der Halbierungspunkte _a b c d_ ein kleineres Quadrat innerhalb des grösseren gebildet wird, zwischen beiden 4 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke von gleicher Grösse: _a f b_, _b g c_ u. s. w. Wird eine Quadratseite in zwei ungleiche Teile geteilt und dieselbe Teilung auf den 3 andern Seiten wiederholt, wie in Fig. 85 (_a f_ = _b g_ = _c h_ = _d e_ und folglich _a e_ = _d h_ u. s. w.), so bilden die Verbindungslinien der 4 Teilungspunkte, hier _a_, _b_, _c_ und _d_, gleichfalls ein Quadrat und entstehen wieder 4 rechtwinklige Dreiecke von gleicher Form und Grösse (_a f b_, _b g c_ u. s. w.) mit dem Unterschiede, dass dieselben nicht gleichschenklig sind. Zieht man aus _a_ und _c_ 2 Linien parallel mit _f g_, aus _d_ und _b_ zwei weitere parallel mit _e f_ je nach der gegenüberliegenden Seite des äusseren Quadrats, so ist _e m_ = _a f_, _m f_ ist = _a e_ und dieselben Verhältnisse ergeben sich auf allen 4 Seiten. [Illustration: Fig. 85.] Ist nun ein verkürztes Quadrat in gerader Stellung z. B. _E F G H_ Fig. 85, gegeben und in demselben ein Punkt _A_ als vordere Ecke eines inneren Quadrats, dessen Ecken die Seiten des äusseren berühren sollen, so wird man _F M_ = _A E_ machen, _M P_ und _A P_ sowie eine Diagonale des äusseren Quadrats und durch die Schnittpunkte _y_ und _z_ oder _i_ und _k_ zwei Wagrechte ziehen, wodurch sich die Lage der Punkte _B_, _D_ und _C_ ergibt. § 83. Ist _A B_ als Seite eines Quadrats und zweimal _P F_ als Distanz angenommen, so zieht man eine Wagrechte durch _A_ und eine Linie aus _P_ durch _B_ nach _F_. Eine Linie aus _D_/3 durch _B_ ergibt _F p_ als ein Drittel von _B F_, _F M_ ist = 3 mal _F p_, also ist _F M_ = _B F_. Wird nun _A E_ = _F M_ gemacht, so kann _E P_ gezogen und das äussere Quadrat _E F G H_ entweder durch Verlängerung der Diagonale des Quadrats _M F B z_ oder durch eine Linie aus _D_/3, nach _s_, d. h. dem Drittel von _F E_ gebildet werden, worauf man wie oben verfährt. Oder kann man, nachdem _P F_ gezogen, _F M_ = _B F_ und _A E_ = _F M_ gemacht ist, _E P_ und eine Linie von _D_/3 nach _m_, d. h. einem Drittel von _A F_ ziehen, wodurch das Quadrat _A F n y_ entsteht. Die verlängerte _n y_ ergibt den Punkt _D_, die verlängerte Diagonale _F y_ den Punkt _H_, von wo aus eine Wagrechte die Linie _M P_ in _C_ schneidet. Die Quadrate _A F n y_ oder _E M k D_, durch welche der Punkt _D_ gegeben ist, lassen sich auch ohne die zweite von _D_/3 nach _s_ gezogene Linie durch Verlängerung der Diagonale _F z_ und die von _A_ und _M_ nach _P_ gezogenen Linien bilden. § 84. Die Anwendung des hier beschriebenen Verfahrens kann überhaupt eine mannigfaltige sein. Wäre statt _A B_ die Linie _A D_ als erste Seite gegeben, so würde man mittels einer von _D_/3 durch _D_ gezogenen Linie auf der nach links verlängerten _A E_ ein Drittel von _A D_ erhalten oder zieht man eine Linie aus _D_/3 durch _y_, wo sich _A P_ und die von _D_ nach rechts gehende Wagrechte schneiden, nach _o_, um _A o_ oder _E o_ als ein Drittel von _E D_ zu bestimmen und somit _E M_ = _E D_ zu erhalten. Hierauf wird _A F_ = _E M_ gemacht und mit der verlängerten Diagonale des Quadrats _E M k D_, welche von _F P_ in _G_ geschnitten wird, das grössere Quadrat gebildet. [Illustration: Fig. 86.] Fig. 86 zeigt dasselbe Verfahren mit etwas veränderter Stellung des inneren Quadrats. Die Distanz ist = 4 mal _P A_ angenommen, also ist _B r_ ein Viertel von _B F_; _B m_ ist = 4 mal _B r_, also = _B F_, folglich ist das verkürzte Dreieck _E B F_ = dem unverkürzten _E B f_. _A H_ ist = 4 mal _A a_ = _A m_ und = _A h_, folglich ist _A H E_ = _A h E_ und man sieht deutlich, wie auch die übrigen Linien der zwei wagrechten Quadrate nach Grösse und Winkelstellung durch die Linien der senkrecht sich anschliessenden Quadrate _A B c d_ und _E f g h_ geometrisch wiedergegeben sind. § 85. Hiemit ist zugleich die genaue Berechnung der perspectivischen Form eines rechten Winkels in schräger Stellung gegeben, auf welche in § 33 verwiesen wurde. Die Ausführung kann, wenn nur die 2 Linien des rechten Winkels verlangt sind, in wesentlich vereinfachter Weise stattfinden. Wenn z. B. in Fig. 86 von _E_ aus eine zu _E F_ rechtwinklige Linie gezeichnet werden soll, so genügt hiezu eine Linie von _D_/4 durch _F_, wonach _E A_ = 4 mal _B r_, d. h. = _B F_ zu machen ist, eine zweite Linie von _A_ nach _P_ und eine dritte von _D_/4, nach _a_, indem _A a_ ein Viertel von _E B_ und somit _A H_ = _E B_ ist. Ist _E H_ gegeben und soll eine rechtwinklig dazu stehende Linie gezeichnet werden, so bilde man das Rechteck _H A E y_, mache _E B_ = _A H_ (= 4 mal _A a_), ziehe _B P_ und eine Linie von _D_/4 nach _r_. Da _B r_ ein Viertel von _A E_ ist, so ist hiemit _F B_ = _A E_. Welcher Weg im einzelnen Fall der bequemste, ob der Teildistanzpunkt links oder rechts vom Augpunkt für die Ausführung geeignet ist, wird man bei einiger Übung leicht erkennen. Bei der Construction ~senkrecht stehender verkürzter Quadrate~ handelt es sich nur um die Übertragung eines gegebenen Masses von einer senkrechten auf eine verkürzte wagrechte Linie oder umgekehrt, worüber in § 74--78 das Nötige angegeben ist; ebenso ist aus § 78 zu ersehen, wie ein verkürztes ~schräges Quadrat~ zu zeichnen wäre; doch kommt die leztere Aufgabe seltener vor. Vergrösserung oder Verkleinerung eines Quadrats oder Rechtecks. § 86. Wenn man in Fig. 87, nachdem _g h i k_ gegeben ist, von _b_ aus die mit _g h_ und _h i_ parallelen _b f_ und _b e_ zieht, oder wenn man 4 Punkte der Diagonalen _g i_ und _h k_ durch Linien verbindet, welche mit den Seiten parallel sind, so entsteht bei _A_ wiederum ein Quadrat _f b e k_ oder _a b c d_, bei _B_ ein Rechteck _f b e k_ oder _a b c d_, dessen Seitenpaare dasselbe Verhältnis von 2 : 3 haben, wie _g h_ und _h i_. Wie auf die gleiche Weise aus einem kleineren ein grösseres Quadrat oder Rechteck durch Verlängerung der Diagonale gemacht werden kann, ist hienach leicht zu verstehen. [Illustration: Fig. 87.] Aber während in _A_ die Linien des inneren Quadrats _a b c d_ überall gleich weit von _g h i k_ entfernt sind, ist dies bei den Rechtecken _a b c d_ und _g h i k_ in _B_ nicht der Fall: der Zwischenraum zwischen den kürzeren Seiten ist grösser, als zwischen den längeren. Soll auf einem Wege, der auch bei verkürzter Stellung des Rechtecks anwendbar wäre, innerhalb _g h i k_ ein (paralleles) Rechteck gezeichnet werden, so dass die Seiten beider überall gleiche Entfernung von einander haben, so muss auf einer längeren Seite z. B. auf _g h_ ein Teil = der Länge der kürzeren Seite abgeschnitten, also z. B. _g n_ = _g k_ gemacht und so ein Quadrat _g n m k_ gebildet werden, um dessen Diagonalen zu dem genannten Zwecke zu benüzen. Soll _f g_ die Breite des Zwischenraums sein, so wird von _f_ eine mit _g h_ parallele Linie gezogen, welche die Diagonale _g m_ in _o_ schneidet und hiemit den Punkt _p_ ergibt. Zieht man nun von _m_ durch den Schnittpunkt der Diagonalen _g i_ und _h k_ eine Linie nach _s_, so ist _g s_ = _n h_, _s h_ = _g n_ = _h i_; _s i_ ist somit die Diagonale eines Quadrats = _g n m k_, und können die Punkte _y_ und _z_ durch die mit _k i_ und _i h_ parallelen Linien bestimmt werden. § 87. Die Construction der verkürzten Quadrate und Rechtecke in Fig. 88 und 89 ist hiemit gegeben. In Fig. 89 dient dieselbe dazu, die 4 Tischbeine an die richtige Stelle zu sezen. Fig. 90 stellt in grösserem Massstab die Verjüngung der Tischbeine nach unten dar. [Illustration: Fig. 88.] [Illustration: Fig. 89.] [Illustration: Fig. 90.] Fig. 91 zeigt einen Stuhl ohne Lehne. Der Siz bildet ein Quadrat, die Punkte _a b c d_, von welchen die Stuhlbeine ausgehen, ergeben sich daher durch die Diagonalen wie in Fig. 87 _A_ und Fig. 88. Da sie nach auswärts stehen, so ist senkrecht unter _a b c d_ das Quadrat _e f g h_ gebildet und mittels seiner Diagonalen vergrössert. [Illustration: Fig. 91.] Stühle mit Lehnen sind gewöhnlich so geformt, dass der Siz hinten schmäler ist als vorn. Man kann deshalb, wenn beispielsweise _a b_ Fig. 92 die Vorderseite des Sizes sein soll, zunächst ein Quadrat _a b c d_ bilden, um sodann die Lage der geometrisch gleichweit von _c_ und _d_ entfernten Punkte _e_ und _f_ entweder auf früher beschriebene Weise oder nach dem Augenmass (_e c_ kleiner als _d f_) zu bestimmen. Für die Punkte, von welchen die Füsse ausgehen, sind nun die Diagonalen _a e_ und _b f_ massgebend. [Illustration: Fig. 92.] V. Verkürzte Kreise, Achtecke und Sechsecke. Gewölbeformen. Der Kreis in verkürzter Stellung. § 88. Die Berechnung der perspectivischen Form eines verkürzten Kreises kann nur darin bestehen, dass gewisse Punkte desselben gewonnen werden, mit deren Hilfe es leichter ist, die Kreislinie aus freier Hand zu zeichnen. Die zu diesem Zweck geeignetsten Punkte sind die Halbierungspunkte der Seiten eines den Kreis einschliessenden Quadrats und ferner die Punkte der Diagonalen in lezterem, welche von der Kreislinie durchschnitten werden, vgl. die geometrische Zeichnung von Quadrat und Kreis in Fig. 93. Gewöhnlich kann man sich eines Quadrats in gerader Ansicht bedienen. Die Halbierungspunkte der Seiten, _a_, _b_, _c_ und _d_ Fig. 93, erhält man mittels einer unverkürzten Wagrechten und einer nach dem Augpunkt gehenden Linie, welche durch den Schnittpunkt der Diagonalen gezogen werden. Ein geübter Zeichner wird sich für gewöhnlich mit diesen 4 Hilfspunkten begnügen können. [Illustration: Fig. 93.] Um die Punkte der Diagonalen, welche der Kreis durchschneiden muss, _m_, _n_, _o_ und _p_ Fig. 93, zu erhalten, wird über oder unter einer der unverkürzten Seiten oder der unverkürzten Mittellinie, also mit _A B_, _C D_ oder _b d_, ein senkrecht stehendes Rechteck halb so hoch als breit, z. B. _A B F E_ oder _C D G H_ gebildet und in diesem ein Halbkreis beschrieben. In Fig. 93 werden diese Halbkreise von den Diagonalen _a E_ und _a F_ oder _c G_ und _c H_ in _g_ und _h_, _y_ und _x_ durchschnitten. Zieht man nun die Senkrechten _g i_ und _h k_ oder _y z_ und _x s_ und 2 Linien von _P_ nach _i_ und _k_ oder durch _s_ und _z_, so ergeben sich auf den Diagonalen des verkürzten Quadrats die gesuchten Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_. Es genügt auch nur eine der Linien nach dem Augpunkt zu ziehen, z. B. _i P_, um durch 2 unverkürzte Wagrechte von _m_ und _p_ aus die Punkte _n_ und _o_ zu erhalten. § 89. Ein anderes Verfahren beruht darauf, dass die Entfernung der Punkte _i_ und _k_ Fig. 93 von _a_, der Mitte der Linie _A B_, ebenso gross ist, als die Diagonale eines Quadrats, dessen Seiten je = ein Viertel von _A B_ sind. _A f_ ist ein Viertel von _A B_. Wird also _A e_ = _A f_ gemacht, so kann die Länge _e f_ von _a_ aus nach _i_ und _k_ übertragen und so die Lage dieser beiden Punkte und der Punkte _m_, _n_, _o_, _p_ bestimmt werden. § 90. In Fig. 94 ist gezeigt, wie mittels derselben Hilfspunkte ein Kreis innerhalb eines Quadrats in schräger Ansicht gezeichnet werden kann. Nachdem in _A B C D_ die Diagonalen und Halbierungslinien gezeichnet sind, ist eine Linie aus _P_ durch _B_ nach der durch _A_ gehenden Wagrechten gezogen und _A b_ ebenso geteilt, wie _A B_ in Fig. 93. Statt abwärts von _A_ aus ist hier seitwärts das Dreieck _b g f_ gebildet, in welchem _b g_ und _g f_ je = ein Viertel von _A b_ sind; _a i_ und _a k_ werden = _b f_ gemacht und dieselben Verhältnisse mittels _i P_ und _k P_ auf die Linie _A B_ übertragen. [Illustration: Fig. 94.] Aus § 72 Fig. 72 und 75 erhellt, dass man statt _P_ auch einen beliebigen andern Punkt des Horizonts benüzen könnte, um von demselben eine Linie durch _B_ nach der Linie _A g_ zu ziehen und sodann wie oben weiter zu verfahren. Statt durch _A_ könnte man auch durch _C_ eine Wagrechte und von _D_ eine Linie nach _P_ ziehen, um auf dieselbe Weise wie oben die Punkte _e_ und _c_, _m_ und _n_ zu bestimmen. Aus Fig. 94 ist zugleich die Anwendung der beiden in § 88 und 89 angegebenen Berechnungsweisen auf einen ~senkrecht~ stehenden Kreis zu ersehen. Es ist klar, dass hiebei die zwei senkrechten Seiten des Quadrats an Stelle der unverkürzten wagrechten treten und dass die Linien _A E_, _B F_, _i g_, _h k_ der Fig. 93 jezt als Wagrechte gezeichnet werden müssen. Das Übrige ergibt sich deutlich genug aus den Linien der Fig. 94. Parallele und concentrische Kreise. § 91. Fig. 95 zeigt 2 in gleicher Höhe stehende parallele Kreise. Der eine ist von dem Quadrat _a b c d_, der andere von _e f g h_ umschlossen. Die Schnittpunkte der Diagonalen _a c_ und _b d_, _e g_ und _f h_ ergeben die beiden Mittelpunkte _y_ und _z_; die Punkte _o_, _p_, _i_, _k_ sind auf die oben angegebene Weise bestimmt, die entsprechenden 4 Punkte auf _e g_ und _f h_ durch Linien, welche parallel mit _a e_ und _b f_ von _k_, _o_, _p_, _i_ nach links gezogen sind. [Illustration: Fig. 95.] § 92. In Fig. 96 soll, nachdem der Kreis _A B C D_ gegeben ist, durch _a_ ein Kreis mit dem gemeinschaftlichen Mittelpunkt _i_, sodann durch _F_ ein mit _A B C_ paralleler Halbkreis gezeichnet werden. Zunächst wird _C c_ = _A a_ gemacht, sodann das Quadrat des inneren Kreises gebildet, indem man durch _a_ und _c_ Linien nach dem Augpunkt zieht und die Punkte _m_ und _n_, _o_ und _p_, in welchen hiedurch die Diagonalen des grösseren Kreises geschnitten werden, durch 2 Wagrechte verbindet. Die Halbierungspunkte der Seiten dieses kleineren Quadrats sind _a b c d_. Die Punkte der Diagonalen, durch welche der innere Kreis geht, können auf die § 88--89 angegebene Weise bestimmt werden, doch sind sie, wenn der Massstab der Zeichnung kein sehr grosser ist, entbehrlich, nachdem die Linie des äusseren Kreises gezeichnet ist. [Illustration: Fig. 96.] Um den unteren Halbkreis zu zeichnen, wird die durch _F_ gehende _E G_ mittels _h E_ und _k G_ = _h k_ gemacht und das Quadrat _E G g e_ gebildet, womit für den unteren Kreis ausser _F_ die Punkte _s_, _r_ und _f_ gegeben sind. Die Punkte der Diagonalen _E g_ und _G e_, welche er durchschneiden muss, ergeben sich durch die von _m_, _n_, _o_, _p_ abwärts gezogenen Senkrechten. Teilung eines verkürzten Kreises. § 92. In Fig. 96 ist zugleich gezeigt, wie diese Kreise in eine beliebige Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden können: mit dem Halbmesser _F G_ ist von _F_ oder von _H_ aus ein Halbkreis gebildet, der mit dem Zirkel auf die gewünschte Weise, hier in 8 Teile, geteilt wird. Hierauf sind von den Teilungspunkten senkrechte Linien bis _E G_ und von da Linien parallel mit _E e_ und _G g_, d. h. nach _P_ bis zur Linie des unteren Halbkreises gezogen. Das Weitere ist aus der Figur ersichtlich, vgl. die Teilung eines verkürzten Kreises in 8 oder 6 Teile, Fig. 100--104. Verkürzte Achtecke. § 93. Wie Fig. 97 zeigt, entsteht ein Achteck, wenn dieselben 8 Punkte, welche zur Darstellung des Kreises dienten, durch gerade Linien verbunden werden, nämlich die Halbierungspunkte der Seiten eines Quadrats und die Punkte seiner Diagonalen, welche von einem in demselben beschriebenen Kreis durchschnitten werden. Die perspectivische Form eines verkürzten Achtecks, welches die in Fig. 97 angenommene Stellung zu den Seiten eines gegebenen Quadrats hat, bedarf also keiner weiteren Erklärung. [Illustration: Fig. 97.] Etwas Anderes ist es, wenn ein Quadrat oder eine Seite eines Quadrats gegeben ist, in welchem ein Achteck wie _a b c d e f g h_ in _A B C D_ Fig. 98 gezeichnet werden soll, d. h. so, dass sämtliche 8 Ecken in den 4 Seiten des Quadrats liegen. Die geometrische Construction würde darin bestehen, dass die 4 von _i_, dem Mittelpunkte des gegebenen Quadrats, nach den Halbierungspunkten der Seiten gehenden Linien über diese hinaus um soviel verlängert würden, dass jede die Länge einer halben Diagonale des Quadrats hätte, also _i m_, _i n_, _i o_ und _i p_ je = _i A_ wären. Durch Verbindung der Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_ entsteht ein zweites dem ersten gleiches Quadrat und die Verbindungslinien der Punkte _b_ und _c_, _d_ und _e_, _f_ und _g_, _h_ und _a_ ergeben das Achteck. [Illustration: Fig. 98.] Ist nun das verkürzte Quadrat _A B C D_ Fig. 99 gegeben, so kann eine der unverkürzten Seiten z. B. _C D_ benüzt werden, um mit einer Hälfte derselben ein gleichschenkliges Dreieck _C E F_ zu bilden. Wird hierauf _E k_ = _E F_ gemacht, so ist das äussere Quadrat _H G K L_ leicht zu bilden: eine Linie von _P_ durch _k_ schneidet die verlängerten Diagonalen _A C_ und _D B_ in _H_ und _G_ und 2 unverkürzte Wagrechte von hier aus ergeben die Punkte _L_ und _K_. Hiermit sind auch die Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_ und die Seiten des Achtecks gegeben. [Illustration: Fig. 99.] Oder könnte auch die Länge _E F_ von _C_ nach _f_ und von _D_ nach _e_ getragen werden -- denn aus Fig. 98 ist ersichtlich, dass _C f_ oder _D e_ = _C i_ sind -- um hierauf die weiteren Constructionslinien teils parallel mit den Diagonalen, teils parallel mit den Seiten des Quadrats _A B C D_ zu ziehen. Wäre statt des Quadrats _A B C D_ _a b_ als Seite eines zu zeichnenden Achtecks gegeben, so würde man mit der Hälfte derselben ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck _b z y_ bilden, _b B_ und _a A_ = _y b_ machen und hierauf das Quadrat _A B C D_ construieren, um wie oben zu verfahren; vgl. die geometrische Zeichnung Fig. 98.[7] [7]: Fig. 99 ist insofern ungenau, als _b B_ und _a A_ etwas kleiner sind als _y b_. Der Fehler wurde zu spät bemerkt und ist so geringfügig, dass es genügen dürfte, hiedurch darauf aufmerksam zu machen. § 94. Fig. 100 zeigt die Construction eines Achtecks, wenn ein solches anschliessend an die Seiten eines Quadrats in schräger Ansicht gezeichnet werden soll. [Illustration: Fig. 100.] Angenommen, es sei das Quadrat _A B C D_ gegeben, so ziehe man eine unverkürzte Wagrechte durch _A_ und eine Linie von _P_ durch _B_ nach _E_. Die perspectivischen Verhältnisse, in welche _A B_ zu teilen ist, können nun auf _A E_ geometrisch angegeben und durch Linien, welche mit _E B_ parallel sind, auf _A B_ übertragen werden (vgl. Fig. 72 und 75). Man bildet entsprechend Fig. 98 mit der Hälfte von _A E_ ein gleichschenkliges Dreieck _p E y_, macht _A o_ und _E s_ je = _p y_ und zieht von _s_ und _o_ zwei mit _E B_ parallele Linien nach _a_ und _b_. Zieht man nun von _a_ und von _b_ aus zwei Linien nach _r_, dem Fluchtpunkte der Diagonale _A C_, zwei weitere parallel mit _A D_ und _B C_, so erhält man die Punkte _c_, _d_, _e_ und _f_, durch eine Linie von _r_ durch _f_ den Punkt _g_ und ist schliesslich noch die mit _B D_ und _e d_ parallele Seite _a h_ zu zeichnen. Der Augpunkt ist übrigens nur zufällig benüzt; es könnte statt desselben ein beliebiger Punkt des Horizonts gewählt werden. Nehmen wir an, dass _a b_ Fig. 100 als Seite eines zu zeichnenden Achtecks gegeben sei, so wäre das Verfahren ein ähnliches wie oben: von _P_ (oder einem andern Punkte des Horizonts) wird eine Linie nach der durch _a_ gehenden Wagrechten gezogen, _a n_ in _m_ halbiert, ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck _a m t_ gebildet und _n x_ sowie _a z_ je = _m t_ gemacht. Die von _P_ nach _x_ und durch _z_ gezogenen Linien ergeben die Punkte _A_ und _B_, es kann nun mit _A B_ das Quadrat _A B C D_ gebildet werden u. s. w. § 95. Es kann auch der Fall eintreten, dass ein verkürzter Kreis gegeben ist und innerhalb desselben von einem bestimmten Punkte aus ein Achteck gezeichnet werden soll. [Illustration: Fig. 101.] Es sei z. B. die Aufgabe gestellt, in dem verkürzten Kreise _A B C D_ Fig. 101 von dem Punkte _a_ aus ein Achteck zu zeichnen. _o D_ ist = _D F_ gemacht, mit der Zirkelweite _D F_ von _o_ aus ein Halbkreis _e D f_ beschrieben und eine Linie von _P_ durch _a_ nach _c_ gezogen; _o x_ wird rechtwinklig zu _o b_, durch die Mitte von _b x_ der Halbmesser _o z_ und rechtwinklig zu diesem _o y_ gezogen (vgl. Fig. 97), worauf die Punkte _x y z_ mittels senkrechter Linien nach _E F_ gebracht und von hier durch die aus _m_, _n_ und dem Punkte zwischen _z_ und _g_ nach _P_ gezogenen Linien auf den Kreis übertragen werden. Die 4 jenseitigen Punkte sind durch den Mittelpunkt des Kreises, beziehungsweise den Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, gegeben. Verkürzte Sechsecke. § 96. Die geometrische Construction eines Sechsecks besteht darin, dass ein Kreis in 6 Teile geteilt wird, von welchen jeder die Grösse eines Halbmessers jenes Kreises hat: man gibt -- Fig. 102 -- dem Zirkel die Weite eines Halbmessers z. B. _O B_, schneidet von _B_ aus den Kreis in _C_, von _C_ aus in _D_ u. s. w. und verbindet diese Punkte durch gerade Linien. Zieht man von den 6 Ecken Linien nach dem Mittelpunkt _O_, so entstehen 6 gleichseitige Dreiecke; schliesst man das Sechseck in ein Rechteck, wie _H K M N_ ein, so sind die beiden längeren Seiten je = 2 Seiten des Sechsecks: _H K_ ist gleich 2 mal _A B_, _H G_ = _A B_; _H A_, _A G_, _G B_ und _B K_ sind gleich gross. Die kürzeren Seiten sind je = 2 mal _G O_; _H F_ und _F N_ sind je = _G O_. [Illustration: Fig. 102.] Ist nun _a b_ als Seite eines verkürzten Sechsecks, _P_ als Augpunkt und _D_/3 als Drittel der Distanz gegeben, so wird _b k_ und _a h_ je = der Hälfte von _a b_ gemacht, ein gleichseitiges Dreieck _a i b_ gebildet (indem von _a_ und _b_ aus 2 Kreise mit der Zirkelweite _a b_ beschrieben werden, welche sich in _i_ schneiden) und _k c_ = _g i_ gemacht durch eine Linie aus _D_/3, nach _y_ (_k y_ = ein Drittel von _g i_). Hiemit sind das Rechteck _h k m n_ und die weiteren Punkte _d_, _e_ und _f_ gegeben. § 97. In Fig. 103 ist angenommen, dass _h n_ als kürzere Seite des von unten gesehenen Rechtecks, _P_ als Augpunkt und _D_/2 als halbe Distanz gegeben sei, in _f_ also eine Ecke des Sechsecks liege. Beschreibt man von _n_ und von _f_ aus zwei Kreisbögen mit der Zirkelweite _n f_, so schneiden sich dieselben in _s_ und es entsteht, indem durch _s_ eine rechtwinklig zu _f s_ stehende Linie bis zu den in _f_ und _n_ errichteten Senkrechten gezogen wird, ein gleichseitiges Dreieck, dessen Mittellinie _s f_ = _f n_ oder = _f h_ ist, dessen Seiten also (vgl. § 96, Fig. 102) auf die durch _f_ gehende Wagrechte übertragen, die Länge einer Seite des zu zeichnenden Sechsecks darstellen. _h p_ ist = _f z_; die von _h_ nach _P_ gehende Seite des zu bildenden Rechtecks muss also = 2 mal _h p_ sein (wie _H K_ Fig. 102 = 2 mal _A B_ ist), was durch eine Linie von _D_/2 nach _p_ erreicht wird. Ist so das Verhältnis der Seiten in dem Rechteck _h k m n_ das gleiche, wie in _H K M N_ Fig. 102, so bleibt nur noch übrig, dasselbe mittels Diagonalen wie dort in 4 gleiche Teile zu teilen, um die weiteren Ecken zu erhalten. [Illustration: Fig. 103.] § 98. In Fig. 104 soll von dem Punkte _d_ des Kreises _A B C D_ aus ein Sechseck gezeichnet werden. Das Quadrat des Kreises ist _E F G H_. Wie in Fig. 101 ist _E e_ und _F f_ = der Hälfte von _E F_ gemacht und von _o_ aus ein Halbkreis beschrieben, auf welchem _x_ dem Punkte _d_ des verkürzten Kreises entspricht (mittels _P d m_ und _m x_). Von _x_ aus schneidet der Zirkel mit der Weite eines Halbmessers _D o_ oder _x o_ den Halbkreis in _b_, von hier aus in _y_, und diese beiden Punkte werden auf die mehrfach beschriebene Weise nach _a_ und _c_ übertragen; Linien aus _d_, _a_ und _c_ durch den Mittelpunkt des Quadrats gezogen, ergeben die 3 jenseitigen Ecken. [Illustration: Fig. 104.] Weitere Beispiele. Rad, Wasserrad, Walze, Cylinder. § 99. Fig. 105 zeigt die Anwendung von § 91 Fig. 95 auf 2 durch eine Achse verbundene Räder. Der Deutlichkeit wegen sind hier sowie in der folgenden Figur nur die wichtigsten Constructionslinien angegeben, mit deren Hilfe das Übrige ohne Schwierigkeit, so genau als der malerische Zweck erfordert, ergänzt werden kann. [Illustration: Fig. 105.] In Fig. 106 sind zunächst die 4 Kreise entsprechend Fig. 95 und 96 gezeichnet. Hierauf ist der durch _a b c_ gehende Halbkreis in 5 gleiche Teile geteilt und diese Teilung auf die andere Hälfte übertragen (vgl. Fig. 101 und 104), indem nach dem Halbkreis _c d a_ Linien von jenen Teilpunkten aus durch den Mittelpunkt gezogen wurden. Diese Linien ergeben zugleich die Stellung der einzelnen Schaufeln; die wagrechten Linien der lezteren sind parallel mit _e f_, _g h_ und _o n_; die Verbindungslinien der Punkte _i_ und _k_, _y_ und _z_ u. s. w. gehen durch den Mittelpunkt _n_. [Illustration: Fig. 106.] § 100. In Fig. 107 ist der Kreis _a b c d_ als vorderer Durchschnitt einer wagrecht liegenden Walze angenommen. Da derselbe unverkürzt ist und die durch _i_ gehende Achse der Walze geometrisch rechtwinklig zu _d b_ steht, so sind von _d_ und _b_ 2 Linien nach dem Augpunkt gezogen und dieselben an beliebiger Stelle durch die Wagrechte _h f_ verbunden. Ein Kreis aus _o_, der Mitte von _h f_, durch _h_ und _f_ beschrieben, ergibt _e f g h_ als den ferner liegenden Durchschnitt, worauf vom Augpunkt aus 2 die beiden Kreise berührende Linien (Tangenten) parallel mit _i o_ als Aussenlinien der Walze gezogen werden. [Illustration: Fig. 107.] Um den Cylinder Fig. 108 zu construieren, sind den beiden vorderen Kreisen entsprechend auf die oben gezeigte Weise die beiden ferneren zu zeichnen. [Illustration: Fig. 108.] Dieselben Formen mit verkürzter Ansicht des Kreises zu zeichnen, bietet hienach keine Schwierigkeit. Man achte dabei auf die bereits erwähnte geometrisch rechtwinklige Stellung der Achse und der Seitenlinien zur Kreisfläche, beziehungsweise zu einem Durchmesser derselben. Tonnengewölbe, Kreuzgewölbe, Spizbogen, Kuppel. § 101. Fig. 109 stellt ein sogenanntes ~Tonnengewölbe~ dar. Dasselbe hat die Form eines halben Cylinders, welcher in Fig. 109 auf den nach dem Augpunkt gehenden Linien _a e_ und _b f_ ruht. Die Construction besteht einfach darin, dass über _a b_ und _e f_ je ein Halbkreis von den Mittelpunkten _c_ und _d_ aus beschrieben wird. Die Fugenlinien des Gewölbes gehen teils parallel mit _a e_ und _b f_, teils sind sie Teile von Halbkreisen, welche mit den beiden ersteren parallel sind, deren Mittelpunkte somit in der Linie _c d_ liegen. So ist der Mittelpunkt des Halbkreises _m n p_ da, wo die Wagrechte _m p_ von _c d_ durchschnitten wird, in _o_. Die Fugenlinien _g h_, _i k_ u. s. w. haben die Richtung nach _c_, dem Mittelpunkt der beiden durch _k h_ und _i g_ gehenden Halbkreise. [Illustration: Fig. 109.] § 102. Fig. 110 zeigt die Hauptlinien eines von aussen und oben gesehenen rundbogigen ~Kreuzgewölbes~. _A B C D_ ist ein Quadrat; über jeder Seite desselben erhebt sich ein Halbkreis, die gegenüberliegenden Ecken des Quadrats, _A_ und _C_, _B_ und _D_, sind nach oben verbunden durch 2 elliptische Linien, die sogenannten Diagonalrippen oder -gurten, welche sich über den Diagonalen _A C_ und _B D_ hinziehen. Der Scheitelpunkt _n_ des Gewölbes, in welchem die beiden Ellipsen sich durchschneiden, liegt senkrecht über der Kreuzung der Diagonalen _A C_ und _B D_, er ist zugleich Schnittpunkt der Diagonalen _E z_ und _F t_. Es entstehen so 4 ~Gewölbefelder~ oder ~Kappen~, welche je von einem Halbkreis und 2 Hälften jener Ellipsen begrenzt werden, z. B. von _A m B_, _A n_ und _B n_, vgl. die innere Ansicht Fig. 111--113. [Illustration: Fig. 110.] Bei der perspectivischen Construction einer solchen Gewölbeform handelt es sich, nachdem über jeder Seite des zu Grunde gelegten Quadrats ein Halbkreis gezeichnet ist, hauptsächlich um die Bestimmung einiger weiteren Hilfspunkte ausser dem durch _E z_ und _F t_ gegebenen Punkte _n_ behufs Darstellung der beiden elliptischen Linien. Die Halbkreise _A m B_ und _A h D_ werden von 2 Linien, welche man aus _E_ nach der Mitte von _A B_ und von _A D_ zieht, in _a_ und in _b_ geschnitten. Diese beiden Punkte liegen in gleicher Höhe; zieht man aus _a_ eine Linie parallel mit _A D_, also nach dem Augpunkt, und aus _b_ eine Parallele mit _A B_, d. h. eine unverkürzte Wagrechte, so müssen diese beiden Linien in dem Punkte _c_ der von _A_ ausgehenden Ellipse _A n C_ zusammentreffen, welcher mit _a_ und _b_ in gleicher Höhe liegt und kann somit dieser Punkt benuzt werden, um _A c n_ zu zeichnen. Dem Punkte _a_ entspricht auf der rechten Seite _e_, eine Linie von hier nach dem Augpunkt und eine Wagrechte aus _c_ schneiden sich in _d_. Die entsprechenden jenseitigen Punkte der beiden Ellipsen ergeben sich durch die aus _a_ und _e_ nach dem Augpunkt gehenden Linien und eine Wagrechte von _g_ nach _f_ oder umgekehrt. § 103. Fig. 111 zeigt dieselben Linien von unten und von innen gesehen, mit dem Unterschied, dass die 2 Seitenkappen geschlossen bis _A D_ und _B D_ herabgehen (wie auch in Fig. 113). Der Fluchtpunkt dieser und der mit ihnen parallelen Linien ist wiederum der Augpunkt; _A B_, _C D_ und die beiden Halbkreise sind unverkürzt. Um die beiden Diagonalgurten zu zeichnen, ist hier ein anderer Weg eingeschlagen. In Fig. 110 liegen die Punkte _y_ und _x_ in gleicher Höhe mit _a_, _b_ und _f_. Zieht man von _y_ eine mit _A C_ und _E z_ parallele Linie nach _x_, von _E_ und _z_ 2 Linien nach _p_, so erhält man da, wo die Linie _y x_ von _E p_ und _z p_ geschnitten wird, gleichfalls die Punkte _c_ und _s_, welche nun mittels unverkürzter Wagrechter nach _d_ und _r_ übertragen werden können. [Illustration: Fig. 111.] In Fig. 111 entspricht das senkrecht stehende von unten gesehene Rechteck _E A C z_ dem Rechteck _E A C z_ in Fig. 110; auch die übrigen einander entsprechenden Punkte beider Figuren sind durch dieselben Buchstaben bezeichnet. Der Halbkreis _A m B_ wird von der Diagonale _E G_ in _a_ geschnitten. Zieht man von _a_ eine Wagrechte nach _y_ und von _y_ eine mit _E z_ parallele Linie nach _x_, so erhält man durch _E p_ und _z p_ die Punkte _c_ und _s_ u. s. w. § 104. In Fig. 112 ist von einem beliebigen Punkte _a_ des Halbkreises _A m B_ eine Senkrechte nach _o_ und von hier eine Linie parallel mit _E y_ d. h. nach dem Augpunkt gezogen, welche die Diagonalen des Quadrats _E F z y_ in _i_ und _k_ schneidet. Zieht man nun von _i_ und _k_ 2 Senkrechte nach der aus _a_ nach dem Augpunkt gehenden Linie, so erhält man die Punkte _c_ und _r_, vgl. dieselben Punkte in Fig. 110. [Illustration: Fig. 112.] Durch eine Wagrechte aus _a_ nach _e_, eine Linie von _e_ nach dem Augpunkt und 2 Wagrechte aus _c_ und _r_ ergeben sich sodann _d_ und _s_. [Illustration: Fig. 113.] Wenn die seitlichen Kappen, wie in Fig. 113, geschlossen bis auf die wagrechte Linie herabgehen, auf welcher das Gewölbe ruht, so ist das leztgenannte Verfahren bequemer als das in § 102 beschriebene. Die Anwendung desselben auf Fig. 113 ist aus den Constructionslinien zu ersehen. _A m B_ ist hier nicht ein Halbkreis, sondern ein flacher Bogen, ein sogenannter Korbbogen. Der obere Teil desselben ist aus dem senkrecht unter _G_ liegenden Punkte _g_ beschrieben, die Fortsezung bis _A_ und _B_ kann leicht aus freier Hand ergänzt werden. § 105. Ein ~Spizbogen~ wird gebildet durch 2 sich durchschneidende Bögen, wie _A_, _B_, _C_ Fig. 114 zeigen. In _A_ sind die beiden Bögen von _a_ und von _b_ aus mit der Zirkelweite _a b_ beschrieben, in _B_ von den Punkten _m_ und _n_ aus mit der Weite _m c_, in _C_ von _o_ und _i_ aus mit der Weite _i e_ (_m d_ = _n c_, _o e_ = _i f_). Die den Spizbogen umgebenden Fugenlinien haben die Richtung nach dem Mittelpunkte des betreffenden Bogens: in _A_ nach _a_ und _b_, in _B_ nach _m_ und _n_, in _C_ nach _i_ und _o_. [Illustration: Fig. 114.] Sind mehrere in einer Flucht liegende Spizbögen in verkürzter Stellung zu zeichnen, so bilde man das Rechteck eines Spizbogens z. B. _a b c d_ Fig. 115 und ziehe in demselben die senkrechte Mittellinie. Man kann nun eine der Bogenlinien z. B. _a B_ (leichter als _b B_) aus freier Hand zeichnen und den Punkt _o_, in welchem sie von der Diagonale _A d_ geschnitten wird, mittels _e f_, _A c_, _g C_ u. s. w. nach _n_, _m_ u. s. w. übertragen, was für gewöhnlich genügen wird. Ist grössere Genauigkeit erforderlich, so kann mit Hilfe eines Distanzpunktes anschliessend an _a d_ ein unverkürztes Rechteck _a d z y_ gebildet und _a h_ als geometrische Form der anstossenden unverkürzten Bogenlinie gezeichnet werden, worauf der Punkt _i_ nach _e_ und von hier nach _o_, _n_, _m_ u. s. w. übertragen wird. [Illustration: Fig. 115.] § 106. Als Beispiel eines spizbogigen Kreuzgewölbes ist in Fig. 116 der Deutlichkeit wegen die einfachste Form eines solchen gewählt; es wird jedoch nicht schwierig sein, das dabei angewandte Verfahren auf andere Formen, welche sehr mannigfaltiger Art sein können, anzuwenden. Die Mittelpunkte der Bogen _A m_ und _B m_, _D o_ und _C o_ sind in _a_ und _b_, _e_ und _f_. _A a_ ist ein Viertel von _A B_, _A B C D_ ist ein Quadrat. _A i_ ist = _A B_; eine Linie von _B_ nach _i_ stellt also die geometrische Länge der Diagonale _A C_ dar. Es ist nun ein Rechteck _G H h g_ gebildet, in welchem _G H_ = _B i_ = _A C_ und _G g_ = _A E_ ist; _G H h g_ ist somit die geometrische Form des verkürzten Rechtecks _A E z C_; der von _g_ nach _h_ führende Bogen ist = der von _A_ nach _C_ führenden Diagonalrippe. Da _G g_ die Hälfte von _G H_ ist, so ergibt sich, dass jene Diagonalrippe ein Halbkreis ist. Wird nun _E y_ = _G k_ gemacht, so kann die Lage der Punkte _c_, _s_, _d_ und _r_ wie bei Fig. 111 bestimmt werden. [Illustration: Fig. 116.] § 107. Fig. 117 zeigt eine von oben gesehene, in 8 Felder geteilte ~Halbkugel~. Der ihren äusseren Umriss bildende Halbkreis ist mit dem Zirkel vom Mittelpunkt der Linie _A a_ aus beschrieben. Indem die Linien _A i_ und _a i_ zugleich als Teilungslinien angenommen wurden, ergeben sich die weiteren Teilpunkte der durch _A_ und _a_ gehenden Kreislinie, nämlich _B_, _C_, _D_, _b_, _c_ und _d_, durch die Halbierungslinie und Diagonale des jenen Kreis umschliessenden Quadrats, und es stellt sich der von _C_ durch _i_ nach _c_ führende Halbkreis als Eine senkrechte Linie dar. Um die verkürzten Halbkreise _B m o b_ und _D n p d_ zu zeichnen, ist das Quadrat _E F G H_ (_E B_ = der Hälfte von _B D_) senkrecht über _B D b d_ gebildet, in welchem die auf bekannte Weise bestimmten Punkte _m_, _n_, _o_, _p_ als Hilfspunkte für jene Halbkreise dienen. [Illustration: Fig. 117.] § 108. In Fig. 118 sei der durch _A B C D_ gehende Kreis und in diesem der Punkt _B_ gegeben, um von hier aus eine achtseitige eiförmige ~Kuppel~ und darüber eine gleichfalls achtseitige Laterne zu zeichnen. [Illustration: Fig. 118.] Die Teilung des Kreises in 8 Teile ist in § 95 Fig. 101 gezeigt. Die Ausführung in Fig. 118 ist nur insofern verschieden, als hier die Constructionslinien an die fernere Linie des den Kreis einschliessenden Quadrats nach unten angefügt sind. Sodann ist entsprechend dem Umfang, welchen die Laterne haben soll, ein kleinerer Kreis von demselben Mittelpunkt _y_ aus gezeichnet, welcher durch den von _A_, _B_, _C_, _D_ nach _y_ gehenden Halbmessern in den Punkten _a b c d_ geschnitten wird. Die in _a b c d_ errichteten Senkrechten bilden die Ecklinien der 3 sichtbaren Seiten der Laterne, welche oben und unten durch Parallelen der Linien _A B_, _B C_ und _C D_ begrenzt sind. Die Linien _A n_, _B e_, _C o_ und _D m_ treffen in ihrer Verlängerung zusammen in einem Punkte der senkrechten Mittellinie, hier in _z_, und es ist zu beachten, dass dieser Punkt bei einer derartigen Kuppelform höher liegen muss, als der Mittelpunkt des Kreises, welcher durch _n_, _e_, _o_, _m_ geht, hier also höher, als _x_. Weitere Anmerkungen zur Transkription Offensichtliche Satzfehler und fehlende Auszeichnungen wurden stillschweigend korrigiert. Die Abbildungen wurden soweit wie möglich zu den entsprechenden Paragraphen verschoben. Die Korrekturliste von S. VIII wurde eingearbeitet, diese Korrekturen sind hier einzeln aufgeführt. Der doppelte Paragraph § 92 wurde beibehalten. Korrekturen: Seite V: _Bedürfniss_ -> _Bedürfnis_ haben dem Verfasser das _Bedürfnis_ Seite VIII: _paralleller_ -> _paralleler_, _Größenverhältniss_ -> _Grössenverhältnis_ Perspectivisches _Grössenverhältnis_ nicht _paralleler_ Linien S. 4: Sachlicher Fehler (nicht korrigiert): Die beiden Diagonalen eines Parallelogramms sind gleich lang, S. 17: _desto schmaler, je höher wir stehen_ ergänzt je tiefer wir stehen, _desto schmaler, je höher wir stehen,_ desto breiter erscheint uns dieselbe, S. 26: _a d_ und _b c_ vertauscht da _b c_ ferner liegt als _a d_, S. 50: _g_ -> _B_ und zieht von _B_ durch _p_ eine Linie S. 57: _E_ -> _F_ Oder kann von _F_ eine mit _D E_ parallele S. 62: _m d_ -> _n a_ _d h_ ist = _n a_ gemacht S. 72: _b_ -> _B_ Mitte eines Quadrats (_A B p f_) S. 99: die -> der so ist _b f_ = _die_ Hälfte von _B b_; S. 122: _Atwas_ -> _Etwas_ Etwas Anderes ist es, S. 133: _Coustruction_ -> _Construction_ Die Construction besteht einfach darin, S. 135: _y_ -> _t_ dem durch _E z_ und _F t_ gegebenen Punkte _n_ S. 136: _ruht_ nach vorn verschoben auf welcher das Gewölbe _ruht_, *** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK LEHRBUCH DER PERSPECTIVE *** Updated editions will replace the previous one—the old editions will be renamed. Creating the works from print editions not protected by U.S. copyright law means that no one owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United States without permission and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to copying and distributing Project Gutenberg™ electronic works to protect the PROJECT GUTENBERG™ concept and trademark. Project Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you charge for an eBook, except by following the terms of the trademark license, including paying royalties for use of the Project Gutenberg trademark. If you do not charge anything for copies of this eBook, complying with the trademark license is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports, performances and research. Project Gutenberg eBooks may be modified and printed and given away—you may do practically ANYTHING in the United States with eBooks not protected by U.S. copyright law. Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial redistribution. START: FULL LICENSE THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK To protect the Project Gutenberg™ mission of promoting the free distribution of electronic works, by using or distributing this work (or any other work associated in any way with the phrase “Project Gutenberg”), you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg™ License available with this file or online at www.gutenberg.org/license. Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg™ electronic works 1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg™ electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy all copies of Project Gutenberg™ electronic works in your possession. If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg™ electronic work and you do not agree to be bound by the terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. 1.B. “Project Gutenberg” is a registered trademark. It may only be used on or associated in any way with an electronic work by people who agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few things that you can do with most Project Gutenberg™ electronic works even without complying with the full terms of this agreement. See paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project Gutenberg™ electronic works if you follow the terms of this agreement and help preserve free future access to Project Gutenberg™ electronic works. See paragraph 1.E below. 1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (“the Foundation” or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project Gutenberg™ electronic works. Nearly all the individual works in the collection are in the public domain in the United States. If an individual work is unprotected by copyright law in the United States and you are located in the United States, we do not claim a right to prevent you from copying, distributing, performing, displaying or creating derivative works based on the work as long as all references to Project Gutenberg are removed. 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Except for the limited right of replacement or refund set forth in paragraph 1.F.3, this work is provided to you ‘AS-IS’, WITH NO OTHER WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTABILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. 1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement shall not void the remaining provisions. 1.F.6. 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The Foundation’s EIN or federal tax identification number is 64-6221541. Contributions to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S. federal laws and your state’s laws. The Foundation’s business office is located at 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887. Email contact links and up to date contact information can be found at the Foundation’s website and official page at www.gutenberg.org/contact Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation Project Gutenberg™ depends upon and cannot survive without widespread public support and donations to carry out its mission of increasing the number of public domain and licensed works that can be freely distributed in machine-readable form accessible by the widest array of equipment including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. The Foundation is committed to complying with the laws regulating charities and charitable donations in all 50 states of the United States. Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these requirements. We do not solicit donations in locations where we have not received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any particular state visit www.gutenberg.org/donate. While we cannot and do not solicit contributions from states where we have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us with offers to donate. 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